非稳态导热问题有限体积法

第32卷第5期 辽宁工程技术大学学报（自然科学版） 2013年5月

of Liaoning Technical University（Natural Science） May 2013 Vol.32 No.5 Journal

文章编号：1008-0562(2013)05-0577-05 doi:10.3969/j.issn.1008-0562.2013.05.001

非稳态导热问题有限体积法

秦跃平1，孟 君1,2，贾敬艳1，杨小彬1，刘 伟1

（1.中国矿业大学（北京） 资源与安全工程学院，北京 100083；2.西山煤电（集团）有限责任公司，山西 太原 030053）

摘 要：为了研究非稳态导热问题中的常用有限体积方案（FVM1）和新提出的有限体积方案（FVM2）的精度差异问题，采用理论推导和实例验证的方法，建立基于有限体积法原理的热平衡积分方程，利用矩形网格进行离散化，建立了平面非稳态热传导问题有限体积法数学模型，推导出与有限单元法（FEM）方案相类似的线性方程组，对比分析所建立的各个方程组中参数的差异.研究结果表明：方案FVM2与FEM精度相同，为较优方案.最后结合一个典型实例，用VB编制了数值计算软件，对比分析这两种方案，验证了上述结果.该结果对工程计算数值模拟有一定的参考价值.

关键词：有限体积法；有限单元法；控制体积；圈划方法；非稳态导热；矩形网格；精度差异；数值计算 中图分类号：TK 123 文献标志码：A

Unsteady heat transfer problems with finite volume method

QIN Yueping1, MENG Jun1,2, JIA Jingyan1, YANG Xiaobin1, LIU Wei1

(1. Faculty of Resources & Safety Engineering, China University of Mining and Technology (Beijing),

Beijing 100083, China; 2. Xishan Coal Electricity Group Co., Ltd. Taiyuan 030053, China)

Abstract: In order to compare the proposed new finite volume scheme with the common scheme, this study derived heat equilibrium equations based on the principle of FVM, established a mathematical model of the FVM on planar unsteady heat transfer by utilizing rectangular mesh discretization, and put forward linear equations which are similar to the equations of FEM but with different parameters. The result of comparing and analyzing of these two schemes shows that FVM2 is a better scheme which has the same precision as of FEM. The conclusion is verified by a typical case study using a VB program, and brings reference value to engineering calculations and numerical simulations.

Key words: finite volume method; finite element method; control volume; selection method; unsteady heat transfer; rectangular mesh; precision difference; numerical calculation

网格划分方式确定之后，由于有限体积法所研0 引 言

究的时间还比较短，对于其控制体积的圈划并没有

有限体积法是比较新的一种数值计算方法，具具体的研究，大部分国内外学者都是直接应用.为了有有限差分法的简捷性和有限单元法的高精度、灵使有限体积法的应用更加规范化，避免滥用有限体活性特点.据统计，世界上每年发表的计算传热学的积法造成错误的计算结果而引起重大的工程设计

[1]

论文中有50%～75%是用有限体积法完成的，此失误，本文以热传导现象为研究对象，分析对比目外其在流体计算中也取得了巨大成就[2-4].有限体积前常用的以及新提出的有限体积法中体积圈划方

法之间的异同，同时将成熟的有限单元法和有广泛法的二维网格应用最为广泛的是三角形网格和四

前景的有限体积法进行对比分析，从而完善和提高边形网格.矩形网格又是四边形网格中常用的划分

对有限体积法的理解和认识. 方式，目前三角形网格划分技术已趋成熟，矩形网格划分技术比较单一，但是矩形单元网格计算精度

高，构造方便，编程和求解容易，在进行控制体积积分时要比三角形网格简单一些，对于规则的计算区域，用矩形网格要优于三角形网格，对于不规则区域，可以选用两者混合网格，可见，研究矩形网格划分的重要性.

1 导热积分方程

在多数的传热学书中，描述导热问题的数学模型通常是导热微分方程，有限体积法依据的是导热积分方程.该积分方程可直接由能量守恒定律及傅立叶定律对温度场内任意一个有限区域进行分析

收稿日期：2012-10-12

基金项目：国家自然科学资金资助项目（50674091） 作者简介：秦跃平（1964-），男，山西 夏县人，博士，教授，主要从事矿井通风与空调、瓦斯及煤岩动力灾害防治、矿井防火、矿井防尘等方面的研究. 本文编校：张 凡

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其基本方程是式（1），即围绕每个节点建立的能量方程.受有限单元法的启发，同样可采取单元搜索法，先进行单元分析，计算每个单元对各个方程的贡献，再进行总体合成.

为了得到以节点温度为未知数的线性方程组，需要对每个单元设定插值函数，即以节点温度表示单元内温度分布.在这一点上有限体积法与有限单元法是完全相同的，因此不再详述.对于矩形单元，单元内的温度分布是任何四个节点温度的线性函数，且热流密度为常数.

研究表明，无论控制体积如何圈划，每个矩形单元对其四个节点i、j、k、m所在的控制体积能量方程的贡献均可表示为

而得到.在温度场内任取一封闭曲面F，它所包围的区域记作V，根据能量守恒定律，对区域进行热平衡分析，那么在单位时间内导入与导出区域的热量差，加上内热源的发热量，应等于区域内物体内能的增量，本文重点研究平面的非稳态温度场问题，得到

qd qvdF c

F

F

T

dF， （1） t

式中，q为沿曲面F面内法线方向的热流密度分量，W/m2；qv为材料的内热源强度，W/m3；ρ为材料密度，kg/m3；c为材料的质量比热，J/(kg℃)；T为温度，℃；t为时间，s.

2 平面问题有限体积的圈划

对于有限体积法来说，由于采用了单元内的温度差值函数，所以得到的结果是近似的.控制体积的圈划方法不同，会得到不同的线性方程组和不同的解算结果.控制体积的选取是否恰当，直接关系到有限体积法的计算精度.目前矩形单元最常用的控制体积圈划方法[5-9]见图1（a）.对有限体积法研究后，结合新型三角形单元的圈划方法[10]，提出一种新的矩形控制体积的圈划方法，见图1（b）.

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