数学必修5导学案：1-2 第4课时等比数列的综合应用(3)

［解析］ 解法一：由已知得a=log23,b=log26=log23+log22,c=log212=log23+2log22. ∴b-a=c-b.?

解法二：∵2a·2c=36=(2b) 2,∴a+c=2b,故选A.

8.（2011·四川文，9）数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=（ ） A.3×44 ［答案］ A

［解析］ 该题考查已知一个数列的前n项和Sn与an+1的关系，求通项公式an.注意的问题是用an=Sn-Sn-1时(n≥2)的条件. an+1=3Sn an=3Sn-1 即an+1=4an ∴

① ②

B.3×44+1

C.45

D.45+1

①-②得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an

an 1

=4.(n≥2)当n=2时，a2=3a1=3, an

a2a

=3≠n 1=4 a1an

∴

∴an为从第2项起的等比数列，且公比q=4,∴a6=a2·q4=3·44. 二、填空题

9.等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+m,则a1［答案］ 6?

［解析］ ∵a1=S1=9+m, a2=S2-S1=27+m-9-m=18, a3=S3-S2=81+m-27-m=54,? 又∵{an}为等比数列， ∴a22=a1a3,∴182=54(9+m)， 解得m=-3.? ∴a1=9+m=6. 10.实数

?

11a c

，1，成等差数列，实数a2,1,c2成等比数列，则2aca c2

［答案］ 1或-

1

3

11

+=2 ac=1 ac=-1 ac

［解析］ 由条件，得 或 ，

数学必修5(北师大版)全册导学案

a2c2=1 a+c=2 a+c=-2

∴

a c1

=1或-. 22

a c3

.

11.已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0,m=a5+a6,k=a4+a7,则m与k的大小关系是［答案］ m<k

［解析］ m-k=(a5+a6)-(a4+a7) =(a5-a4)-(a7-a6)?

=a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6) =(q-1)·a4·(1-q2)

=-a4(1+q)(1-q) 2<0(∵an>0).∴m<k.

12.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+)，关于数列{an}有下列三个命题： ①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an=an+1 (n∈N+); ②若Sn=an2+bn(a、b∈R)，则{an}是等差数列； ③若Sn=1-(-1) n，则{an}是等比数列. 这些命题中，正确命题的序号是 ［答案］ ①②③

.?

［解析］ 对于命题①，易知它是各项不为零的常数数列，有an=an+1.对于命题②，由Sn=an2+bn(a、b∈R)得an=b+a+(n-1)·2a，当n=1时，也适合上式.∴{an}为等差数列.对于命题③，由Sn=1- (-1) n得an=2·(-1)

n-1

，当n=1时也适合上式.故{an}为等比数列.

三、解答题

13.(2011·新课标文，17)已知等比数列{an}中，a1=(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=

11

，公比q=.? 33

1 an

；? 2

1 an

,第二问将问题转化为2

(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式.

［分析］ 第一问先利用等比数列定义及前n项和公式求出an，Sn,再证明Sn=等差数列求和.? ［解析］ (1)因为an=

111×（）n-1=n,? 333

111

1 n）1 n

=， Sn=21 3

所以Sn=

1 an

.? 2

(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an

数学必修5(北师大版)全册导学案

=-(1+2+…+n)? =-

n(n 1)

.? 2

n(n 1)

. 2

所以{bn}的通项公式为bn=-

［点评］ 本题考查了数列的通项，前n项和等基础知识，体现了转化与化归的数学思想. 14.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(n∈N*) (1)求证{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式. ［解析］ (1)∵an+1=2an+1 ∴an+1+1=2(an+1)，即bn+1=2bn ∵b1=a1+1=2≠0.∴bn≠0,? ∴

bn 1

=2，∴{bn}是等比数列. bn

(2)由(1)知{bn}是首项b1=2公比为2的等比数列， ∴bn=2×2n-1=2n，即an+1=2n.? ∴an=2n-1.

15.一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.?

［解析］ 设等比数列的公比为q,项数为2n（n∈N+）, 由已知得q≠1,a1=1,a2=q.?

1 q2n

=85 2

1 q

∴

①

q(1 q2n)

=170 2

1 q

②÷①得q=2.?

②

1 4n∴=85,∴4n=256, 1 4

∴n=4.?

故数列的公比为2,项数为8.

16.求和Sn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-2)×2n.?

［解析］ ∵Sn=1×2+4×22+7×23+…+［3(n-1)-2］×2n-1+(3n-2)×2n 2Sn=1×22+4×23+…+［3(n-1)-2］×2n+(3n-2)×2n+1 2n+1-4=3×2n+1-6-3n×2n+1+2n+2-4=2n+2+3(1-n)×2n+1-10. ∴Sn=3(n-1)×2n+1-2n+2+10 ＝（3n-5）×2n+1+10.

① ②

∴①-②得，-Sn=1×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-2)×2n+1=3(2+22+…+2n)-(3n-2)×2n+1-4=3(2n+1-2)-(3n-2)×

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