数学必修5导学案：1-2 第4课时等比数列的综合应用(2)

2(1 2n)

=-n·2n+1

1 2

=2n+1-2-n·2n+1, ∴Sn=(n-1)2n+1+2.

名师辨误做答

［例4］ 若数列{an}的前n项和为Sn=an-1（a≠0），则数列{an}是（ ） A.等比数列

B.等差数列

D.可能是等比数列，但不可能是等差数列

C.可能是等比数列，也可能是等差数列 ［误解］ A 由Sn=an-1，得 an=(a-1)an-1，则有

an 1

=a-1(常数)，故选A. an

［辨析］ 错误的原因在于：当a=1时，an=0，{an}是等差数列，而不是等比数列，这是没有理解等比数列中an≠0而造成的. ［正解］ C 由Sn=an-1,得 an=(a-1)an-1.

当a=1时，an=0,数列{an}为等差数列； 当a≠1时，

an 1

=a-1,(不为零的常数)， an

则数列{an}为等比数列，故选C.

课堂巩固训练

一、选择题

1.（2011·辽宁文，5）若等比数列{an}满足anan+1＝16n，则公比为（ ） A.2

B.4

C.8

D.16

［答案］ B?

［解析］ 本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力. ∵an·an+1=16n,∴an-1·an=16n-1

an an 1an 1216n∴==q=n 1=16

16an 1 anan 1

数学必修5(北师大版)全册导学案

2.在各项为正数的等比数列中，若a5-a4=576,a2-a1=9,则a1+a2+a3+a4+a5的值是（ ） A.1061

B.1023

C.1024

D.268?

［答案］ B?

［解析］ 由题意得a4(q-1)=576,a1(q-1)=9, ∴

a43

=q=64,∴q=4,∴a1=3, a1

3 (45 1)

∴a1+a2+a3+a4+a5==1023.

4 1

3.在等比数列｛an｝中，a1=1,公比|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5，则m=（ ） A.9

B.10

C.11

D.12?

［答案］ C?

［解析］ ∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10, 又∵am=a1qm-1=qm-1,? ∴qm-1=q10,∴m-1=10,∴m=11. 二、填空题

4.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n+1+r,则r的值为［答案］ -2?

［解析］ 解法一：a1=S1=4+r, a2=S2-S1=8+r-4-r=4,? a3=S3-S2=16+r-8-r=8,? 又∵{an}为等比数列， ∴a22=a1a3,? ∴16=8(4+r),? ∴r=-2.?

解法二：∵Sn=2n+1+r=2·2n+r, ∴数列{an}为等比数列， ∴Sn=A·qn-A=2·2n+r,? ∴r=-2.

5.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则q的值为 ［答案］ -2

［解析］ ∵Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列， ∴2Sn=Sn+1+Sn+2 ∴(Sn+1-Sn)+(Sn+2-Sn)=0, ∴an+1+an+1+an+2=0, ∴2an+1=-an+2, ∴

.

.?

an 2

=-2,? an 1

数学必修5(北师大版)全册导学案

三、解答题

6.（2011·重庆文，16）设{an}是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式;?

(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn.

［分析］ （1）问设出公比q，由已知建立有关q的方程，求出公比q，写出通项公式. （2）甲分组求和，先求an的和，再求bn的和，然后相加得Sn.

［解析］ （1）设等比数列{an}的公比为q，由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4 即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍)，∴q=2 ∴an=a1·qn-1=2·2n-1=2n （2）数列bn=1+2(n-1)=2n-1

n(n 1)2(1 2n)

∴Sn=+n×1+×2

21 2

=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.

［点评］ 此题考查等差、等比数列的通项公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比数列的公比为正数，此题属基础保分题.

课后强化作业

一、选择题

1.已知等比数列｛an｝中，an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为（ ） A.3n-1

B.3(3n-1)?

C.

1

(9n-1) 4

D.

3

(9n-1) 4

［答案］ D

［解析］ ∵a2=6,q=9,

6(1 9n)3n

∴Sn′== (9-1).

41 9

2.(2010·辽宁文)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=（ ） A.3

B.4

C.5

D.6?

［答案］ B?

［解析］ ∵3S3=a4-2,3S2=a3-2, ∴3S3-3S2=a4-a3,? ∴3a3=a4-a3,? ∴4a3=a4,? ∴

a4

=4,∴q=4. a3

1

·2n-1+a,则a的值为（ ） 3

C.

3.等比数列{an}的前n项和Sn=A.-

1 3

B.-

1 61 6

D.

1 3

数学必修5(北师大版)全册导学案

［答案］ B? ［解析］ ∵S1n=·2n-11

3+a=6

·2n+a,? 又∵Sn=Aqn-A, ∴a=-

1

6

. 4.等比数列{a1

n}的公比为2，且S3=1,则S6等于（ ） A.

99162716

B.

8

C.

9

D.

8

［答案］ B?

a［1 （1）3

］［解析］ ∵q=112

,S3=

1 12

=2a11（1-8）=7

4

a1=1, ∴a41=

7

.? 41 （1）6］

∴S=8（1-16=）=9.

1 76482

5.数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…，1+2+22+…+2n-1的前n项和Sn>1020,那么n的最小值是（A.7

B.8

C.9

D.10?

［答案］ D?

［解析］ 因为1+2+22

+…+2n-1

=1 2n1 2

=2n

-1,所以Sn=21-1+22-1+…+2n-1=2n+1-n-2>1020,

所以n的最小值为10.

6.已知等比数列｛a1

n｝中，公比q=2

,且a1+a3+a5+…＋a99=60,则a1+a2+a3+…+a100=（ ） A.100

B.90

C.120

D.30?

［答案］ B?

［解析］ ∵a2+a4+a6+…+a100=a1q+a3q＋a5q+…+a99q=q(a1+a3+a5+…+a99) =

1

2

×60＝30 ∴a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100) =60+30=90.

）

数学必修5(北师大版)全册导学案

7.已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c（ ） A.成等差数列不成等比数列

B.成等比数列不成等差数列

D.既不成等差数列又不成等比数列?

C.既成等差数列又成等比数列? ［答案］ A?

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