2016-空间直角坐标系及点的坐标表示

空间直角坐标系

一、空间直角坐标系建立从空间某一个定点0 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐 标系0-xyz.

z

o

y

x 点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面.

在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系.

说明: ☆本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.x o

z

y

三、空间任一点坐标的求法过点M作三个平面分别垂直 于x轴、y轴、z轴分别交于P、 R、Q(即点A在坐标平面的射 影)。点P、R、Q在相应坐标 轴上的坐标依次为x,y,z则 有序实数对(x,y,z)叫做 点M的坐标

zR

M ( x, y, z )

o

Q

y

x

P

例1、在如图长方体中，已知 OA = 3, OC = 4, OD¢ = 2, 试求其顶点的坐标。z D' C'

分析：1.分别找射影2.找射影在坐标轴对 应的点x

A'O

B'

C y A B

z D' C'

1.坐标平面内的点B'

A'O

xoy平面上的点表示为(x,y,0)C y

yoz平面上的点表示为(0,y,z) xoz平面上的点表示为(x,0,z)

x A

B

2.坐标轴上的点x轴上的点表示为(x,0,0) y轴上的点表示为(0,y,0) z轴上的点表示为(0,0,z)

四、空间中点坐标公式

空间两点A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 )的中点 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 坐标为( , , ) 2 2 2

一、线线角：

异面直线所成角的范围： 0, 思考： 2 C D CD, AB 与 的关系？ D1 A DC, AB 与 的关系？ B 设直线CD的方向向量为a,AB的方向向量为b b a

a , b

a , b

a

b

结论：

| cos a, b |

二、线面角：A

[0, ] 直线与平面所成角的范围： 2思考：O

B

A

n

设平面 的法向量为n,则 n, BA 与 的关系？ A n, BA 2

n, BA 2B

B n

结论：sin | cos n, AB |

三、面面角： 二面角的范围： [0, ]法向量法 n1, n2 n2

n1, n2

n1, n2

l

n2

n1

n2 n1,

n1l

cos

cos n1, n2

cos

cos n1, n2

【注意】法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。

五、点

的对称性规律：关于谁对称谁不变

空间直角坐标系中任一点p(x,y,z)1.关于原点对称的为 (-x,-y,-z)

例：(1,2,3)

(-1,-2,-3)

2.关于x轴对称的为 (x,-y,-z)3.关于y轴对称的为 (-x, y,-z) 4.关于z轴对称的为 (-x,-y, z)

(1,-2,-3)(-1,2,-3) (-1,-2,3)

5.关于xoy平面对称的点为(x,y,-z)(1,2,-3)

6.关于xoz平面对称的点为(x,-y,z)(1,-2,3)

7.关于yoz平面对称的点为(-x,y,z)(-1,2,3)

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