二阶线性微分方程英文翻译(4)

y(k) Aj(z)y(j)(z) 0

i 0k 2

进一步假设函数f满足log N(r,1/f) o(r);，A0是在e非恒定和理性的，而且，如果z

k 3，且A1,.....Ak 2是常数。则存在一个整数q与1 q k ，f(z)和f(z q2 i)是线

z性相关。相同的结论认为，如果A0是超越e，和f满足log N(r,1/f) o(r)，如果k 3，

然后通过一个无限措施的集合L1为r ，T(r,Aj) o(T(r,Aj))且j 1,.....k 2 引理2

（[10]） 设A(z) B(e z)是一个周期为 2 i

极奇数阶设B( )是定期与整函数周期 2 i

无关的解。

3．主要结果的证明

主要结果的证明的基础上[8]和[15]。 1 1在e z（包括那些可以改变这种情况下 的先验。在（1.1）中由不同的时期f(z) 0，log N(r,1/f) o(r)有一个满足，那么f(z)和f(z )是线性在0

定理1的证明

让我们假设 e(f) 。正弦f(z)和f(z 2 i)是线性无关的，引理1意味着f(z)和f(z 4 i)必须是线性相关的。设E(z) f(z)f(z 2 i)，则E(z)满足微分方程

E (z)2E (z)c2

, (2.1) 4A(z) () 2 2E(z)E(z)E(z)

其中c 0是f1和f2(见[12, p. 5] or [1, p. 354])，且E(z 2 i) c1E(z)或某些非零的常数c1。显然，E /E和E /E是两个周期2 i，而A(z)是定义函数。在（2.1），E(z)2也定期与周期2 i。因此，我们可以找到一个解析函数 ( )在0 ，使E(z)2 (ez)代入（2.1）得这种表达

c2 3 22 4B( ) 2() (2.2) 4

由于B( )和 ( )在C* :1 ，理论[21，p.15]给出了他们的结论

B( ) nR( )b( )， ( ) n1R1( ) ( )， （2.3）

其中n，n1是一些整数，R( )和R1( )函数分析和C* { }上非零，b( )和 ( )是整函数。按照相同的 [8]中，我们得出

T( , ) N( ,1/ ) T( ,b) S( , )， （2.4）

其中S( , ) o(T( , ))，此外，下列结论由[8]得

e(f) e(E) e(E2) max{ eR(E2), eL(E2)},

eR(E2) 1( ) ( ),

其中 eR(E2)是定义为

log NR(r,1/E2)log NR(r,1/E2)lim(resp, lim), r r rr

定期二阶线性微分方程解的一些性质

其中，NR(r,1/E2)(resp. NL(r,1/E2)表示一个计数功能，只计算在右半平面的E(z)2零点（在左半平面）， 1( )是在 的C*零点收敛指数，它的定义为

log N( ,1/ ) 1( ) lim log

由条件 e(f) ，我们得到 ( ) 。

现在（2.3）代入（2.2）中

2n1R1 32n1R1 2cn 4 R( )b( ) n1 ( ) ( ) R1 4 R1 R1( ) ( )

R1 n1R1n1 R1 R1 2n1(n1 1) 2 2 2 ) （2.5） ( 2 R1 R1 R1

推论1的证明

我们可以很容易地推导出定理1的推论1（一）推论1的证明（B）。假设f1和f2与 e(f1f2) 线性无关，那么 e(f1) ，我们证明推论1的结论（一），fj(z)与fj(z 2 i)线性相关，J =1;2。假设E(z) f1(z)f2(z)，然后我们可以找到

2E(z 2 i) c2E(z)的一个非零的常数c2，重复同样的论点定理1中使用的事实，E(z)

也是能找到，我们得到 e(E) 1 (g2) 1 2与 (g2) 1/2自矛盾，因此 e(f1f2) 。

定理2的证明

N(r,1/f) o(r)。我们推断 e(f) 0，

f(z)和f(z 2 i)的线性依赖推论1（a）。然而，引理2意味着f(z)和f(z 2 i)是线

性无关的。这是一对矛盾。因此logN(r,1/f) o(r)，认为都有非平凡解的F在（1.1）假设存在一个非平凡解的f在（1.1）中，满足log

中，这就完成了定理2的证明。

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