二阶线性微分方程英文翻译(3)

equations of higher order [J]. Results Math., 1996, 29(1-2): 42{55.

[3] BAESCH A, STEINMETZ N. Exceptional solutions of nth order periodic linear differential

equations [J].Complex Variables Theory Appl., 1997, 34(1-2): 7{17.

[4] BANK S B. On the explicit determination of certain solutions of periodic differential equations

[J]. Complex Variables Theory Appl., 1993, 23(1-2): 101{121.

[5] BANK S B. Three results in the value-distribution theory of solutions of linear differential

equations [J].Kodai Math. J., 1986, 9(2): 225{240.

[6] BANK S B, LAINE I. Representations of solutions of periodic second order linear differential

equations [J]. J. Reine Angew. Math., 1983, 344: 1{21.

[7] BANK S B, LANGLEY J K. Oscillation theorems for higher order linear differential equations

with entire periodic coe±cients [J]. Comment. Math. Univ. St. Paul., 1992, 41(1): 65{85.

[8] CHIANG Y M, GAO Shi'an. On a problem in complex oscillation theory of periodic second

order lineardifferential equations and some related perturbation results [J]. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 2002, 27(2):273{290.

一些周期性的二阶线性微分方程解的方法

1． 简介和主要成果

在本文中，我们假设读者熟悉的函数的数值分布理论[12，14，16]的基本成果和数学符号。此外，我们将使用的符号 (f)， (f)and (f)，表示的顺序分别增长，低增长的一个纯函数的零点收敛指数，f， e(f)（[8]），E型的f(z)，被定义为

e(f) limlogT(r,f) r r

同样， e(f)，E型的亚纯函数f的零点收敛指数，被定义为

log N(r,1/f) e(f) lim r r

我们说，如果一个亚纯函数f(z)满足增长的正常秩序

logT(r,f) (f) lim r logr

我们考虑的二阶线性微分方程

f Af 0

在A(z) B(e z)是一个整函数在 2 i/ 。在（1.1）的反复波动理论的第一次探讨中由银行和莱恩[6]。已经进行了研究在（1.1）中，并已取得各种波动定理在[2{11，13，17{19]。在e函数中A(z)正确的，银行和莱恩[6]证明了如下定理

定理A 设A(z) B(e z)这函数是一个周期性函数，周期为 2 i/ 在整个函数e存 z z在。如果B( )有奇数阶极点在 和 0，然后对于任何一个结果答案f(z)( 0)在(1.1)中 (f)

广义这样的结果：上述结论仍然认为，如果我们只是假设， 既 0和B( )的极点，并且至少有一个是奇数阶。此外，较强的结论

log

zN(r,1/f) o(r) （1.2） 认为。当A(z)是超越在e，高[10]证明了如下定理

定理B

设B( ) g(1/ ) pjb ，其中g(t)是一个超越整函数与 (g) 1，p是奇正整jj 1

并且bp 0，设A(z) B(e)，那么任何微分解在（1.1）的函数f必须有 (f) 。事实上，在（1.2）已经有证明的结论。

是在[10] 一个例子表明当定理B不成立时， (g)是任意正整数。如果在另一方面z (g) 1，但如果没有一个正整数，我们可以说些什么呢？蒋和高[8]得到以下定理 定理C

设A(z) B(e)，其中B( ) g1(1/ ) g2( )，函数g1和函数g2是整函数g2先验和 (g2)不等于一个正整数或无穷大，并函数g1任意。

（一） 假设 (g2) 1（a）如果函数f是一个非平凡解 e(f) (g2)在（1.1），那么f(z)

和f(z 2 i)是线性相关。

（b）如果函数f1和函数f2在（1.1）是两个线性无关函数，则存在这样一个条件 z e(f) (g2)。

（二） 假设 (g2) 1（a）如果函数f有一个非平凡解在（1.1）且 e(f) 1，f(z)和

f(z 2 i)是线性相关的。

如果函数f1和函数f2在（1.1）在（1.1）是两个线性无关函数，则存在这样一个条件 e(f1f2) 1。

定理 D

让g( )是一个超越整函数和它的秩序是正整数或无穷大。设A(z) B(e z)，B( ) g(1/ ) j 1bj j和p是一个奇正整数。然后 (f) 或F得到每一个非平凡解在（1.1）。事实上，在（1.2）中已经有证明的结论。

例子表明在高[8]定理D不再成立，当 (g)是无穷的。

本文的主要目的是改善上述结果的情况下，当B( )是超越。特别地，我们找到的条件下定理D仍然成立的情况下，当 (g)是一个正整数或无穷大。

我们将证明在第3节的结果如下：

定理1

设A(z) B(e)，其中B( ) g1(1/ ) g2( )，g1和g2g2先验和 (g2)不等于一个正整数或无穷，g1任意整函数。如果定期二阶线性微分方程f(z)和f(z 2 i)的解不是一些属性是两个线性无关的解在（1.1），然后 zp

e(f)

或者

e(f) 1 (g2) 1 2

我们的说法，定理1的结论仍然有效，如果我们假设函数 (g1)不等于一个正整数或无穷大，任意和承担的情况下B( ) g1(1/ ) g2( )，当其低阶不等于一个整数或无穷超然是任意的，我们只需要考虑B*( ) B(1/ ) g1( ) g2(1/ )在0 ， 1/ 。 推论1

设A(z) B(e)，其中B( ) g1(1/ ) g2( )，函数g1和函数g2是整个g2先验和 z

(g2)不超过1 / 2，并且g1任意的。

（一） 如果函数f是一个非平凡解 e(f) 在（1.1）中，那么f(z)和f(z 2 i)是线

性相关。

（二） 如果f1和f2是两个线性无关解在（1.1）中，那么 e(f1f2) 。

定理2

设g( )是一个超越整函数及其低阶不超过1 / 2。设A(z) B(e)，其中zB( ) g(1/ ) j 1bj j和p是一个奇正整数，则 (f) 为每个非平凡解F到在（1.1）中。事实上，在（1.2）中证明正确的结论。

我们注意到，上述结论仍然有效的假设 p

B( ) g( ) b j j

j 1p

我们注意到，我们得出定理2推广定理D，当是一个正整数或无穷，但 (g) 1/2结合定理2定理的研究。

推论2

z设g( )是一个超越整函数。设A(z) B(e)，其中B( ) g(1/ ) pjb 和 pjj 1

是一个奇正整数。假设要么（一）或（二）中认为：

（一） (g)不是正整数或无穷;

（二） (g) 1/2

然后为每一个非平凡解在（1.1）中函数f对于 (f) 。事实上，在（1.2）中已经有证明的结论。

2． 引理为定理的证明

引理1

（[7]），k 2和的假设A0,.....Ak 2是整个周期2 i，并且函数f是有一个非平凡解

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说医药卫生二阶线性微分方程英文翻译(3)在线全文阅读。