宁夏大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)(3)

2

故答案为： x∈R，使得x+2x+5≠0．

点评： 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．

22

16．（5分）当点（x，y）在直线x+3y﹣4=0上移动时，表达式3+27+2的最小值是．

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 利用基本不等式的性质、指数的运算性质即可得出． 解答： 解：∵点（x，y）在直线x+3y﹣4=0上移动， ∴x+3y=4．

xy

∴3+27+2

x

y

xy

+2=+2=18+2=20，当且仅当x=3y=2时取等号．

∴3+27+2的最小值是20． 故答案为：20．

点评： 本题考查了基本不等式的性质、指数的运算性质，属于基础题．

三、解答题

17．（10分）设x＞3，求

y=x+

的最小及对应的x的值．

考点： 专题： 分析： 解答： 基本不等式．

不等式的解法及应用．

变形利用基本不等式的性质即可得出． 解：∵x＞3，∴x﹣3＞0．

∴y=x﹣3+∴

y=x+

+3≥+3=7，当且仅当x=5时取等号．

的最小值为7，此时对应的x=5．

点评： 本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．

18．（12分）已知数列{an}满足条件：a1=0，an+1=an+（2n﹣1）． （1）写出数列{an}的前5项；

（2）由前5项归纳出该数列的一个通项公式．（不要求证明）

考点： 数列递推式．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： （1）根据数列的递推公式即可写出数列{an}的前5项； （2）由前5项归纳出该数列的一个通项公式． 解答： 解：（1）∵a1=0，an+1=an+（2n﹣1）． ∴a2=a1+（2﹣1）=1，a3=a2+（4﹣1）=1+3=4，a4=a3+（6﹣1）=4+5=9，a5=a4+（8﹣1）=9+7=16；

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（2）∵a1=0，a2=1=1，a3=4=2，a，4=9=3，a5=16=4，

2

则由前5项归纳出该数列的一个通项公式an=（n﹣1）． 点评： 本题主要考查递推数列的应用，比较基础．

19．（12分）已知函数f（x）=x+ax+6． （1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；

（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．

考点： 一元二次不等式的解法；二次函数的性质． 专题： 计算题．

2

分析： （1）首先把一元二次不等式变为x+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；

2

（2）要使一元二次不等式x+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．

解答： 解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即 x+5x+6＜0， ∴（x+2）（x+3）＜0， ∴﹣3＜x＜﹣2．

∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2} （2）不等式f（x）＞0的解集为R，

2

∴x的一元二次不等式x+ax+6＞0的解集为R，

2

∴△=a﹣4×6＜0 ﹣2＜a＜2

∴实数a的取值范围是（﹣2，2）

2

2

点评： 本题主要考查一元二次不等式，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于基础题．

20．（12分）已知命题p： x∈，2x﹣a≥0．命题q： x∈R，得x+2ax+2﹣a=0．若命题“p∧q”是真命题．求实数a的取值范围．

考点： 复合命题的真假． 专题： 简易逻辑．

分析： 分别求出命题p，q成立的等价条件，然后根据命题“p∧q”是真命题，求出实数m的取值范围．

解答： 解：若p真，即 x∈，2x﹣a≥0，

即a≤2x，x∈恒成立， ∴a≤2，

若q为真，即

2

“ x∈R，x+2ax+2﹣a=0”，

2

则△=4a﹣4（2﹣a）≥0，

2

即a+a﹣2≥0，

解得a≥1或a≤﹣2． 即q：a≥1或a≤﹣2． ∵“p且q”是真命题

2

∴∴1≤a≤2

∴实数m的取值范围是．

点评： 本题主要考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假之间的关系的应用，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．

21．（12分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且2a2+2=a4． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Sn．

考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）设等差数列{an}的公差，由题意求得公差，则等差数列的通项公式可求； （2）把等差数列的通项公式代入bn=

，然后利用裂项相消法求数列的前n项和．

解答： 解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）， 由a1=1，且2a2+2=a4，得2（1+d）+2=1+3d， 解得：d=3．

∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2； （2）由bn=

，得

，

∴数列{bn}的前n项和Sn==

．

点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．

22．（12分）已知数列{an}中，a1=3，an+1=an+2． （1）求数列{an}的通项公式an；

n

（2）若bn=an×3，求数列{bn}的前n项和Sn．

考点： 数列的求和；等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）利用等差数列的通项公式即可得出．

（2）利用“错位相减法”及等比数列的前n项和公式即可得出． 解答： 解：（1）∵数列{an}中，a1=3，an+1=an+2，即an+1﹣an=2． ∴数列{an}是等差数列， ∴an=3+（n﹣1）×2=2n+1．

nn

（2）由（1）可得bn=an×3=（2n+1） 3．

2n

∴数列{bn}的前n项和Sn=3×3+5×3+…+（2n+1） 3，

23nn+1

3Sn=3×3+5×3+…+（2n﹣1） 3+（2n+1） 3，

∴﹣2Sn=9+2×3+2×3+…+2×3﹣（2n+1） 3

n+1

n+1

n+1

23nn+1

=3+﹣（2n+1） 3

n+1

=3﹣（2n+1） 3=﹣2n 3．

n+1

∴Sn=n 3．

点评： 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题．

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