饮酒与驾车的关系（04年国家数学建模一等奖）(2)

而肠胃里的酒精量的变化与机体对酒精的吸收和喝入机体的酒精量都有关系，而机体对酒精的吸收速率可以与模型Ⅰ一样用?ay(t)来表示，则时间段[t,t??t]内有： 肠胃里的酒精量的变化量 = 喝入机体的酒精量 - 机体对酒精的吸收量 即得：

t??t?t??tQ0??tTdt??tay(t)dt,t?Ty(t??t)?y(t)?? t??t??ay(t)dt,t?T?t?

两边同除?t后让?t?0取极限得：

?Q0dy(t)??ay(t),??Tdt???ay(t),而与模型Ⅰ一样有：

t?Tt?T

f(t)?ay(t)

再结合一般模型我们可以得到模型Ⅱ如下：

?dC(t)f(t)?dt?V?bC(t)0??Tf(t)dt???f(t)dt?Q0?T??0?C(0)?C0??f(t)?ay(t)?具体模型Ⅱ： ? ?Q0t?T?dy(t)??T?ay(t),??dt?t?T???ay(t),?y(0)?0?

五、模型求解

对于本题的模型求解，我们分以下几个步骤进行：

Step1:对一般模型进行求解。

Step2:根据Step1求得的结果分别对具体模型Ⅰ和具体模型Ⅱ进行求解，得到两

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个模型的解的表达式。

Step3:根据已有数据应用最小二乘法对具体模型Ⅰ进行数据拟合，分别获得参数a与b的值。从而得出具体模型Ⅰ和具体模型Ⅱ的解的具体表达式。 Step4:利用Step3的结果分别对题中的每一问进行解答。

1．一般模型的求解

观察一般模型，这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程，其特征方程为：??b?0，故其特征根为：???b，于是此微分方程对应的齐次方程有通解：

C(t)?ke?bt（k为任意常数）

dC(t)f(t)??bC(t)，得： 运用常数变易法，令C(t)?k(t)e代入原方程

dtV0?btk(t)e'?btt1f(t)??k(t)??f(t)ebtdt?k （k为任意常数）

0VV00 于是得原方程通解：

C(t)?ke?bt?e?bt1b?f(?)ed? ?0V0t 由初始条件C(0)?C0得：C0?k，

故特解为：

C(t)?C0e2．具体模型Ⅰ的求解

?bt?e?bt1b?f(?)ed? ?0V0t

dy(t)??ay(t)及由dt如下结论：

y(0)?Q0得：y(t)?Q0e?at，又f(t)?ay(t)，于是有

f(t)?aQ0e?at（此时??f(t)dt?Q0也是满足的。）

0将其代入一般模型的特解中并化简得：

aQ0C(t)?(e?bt?e?at)?C0e?bt

V0(a?b)

3．具体模型Ⅱ的求解

根据题设，我们取 T?2。

?Q0dy(t)??ay(t),??2由dt???ay(t),

t?2t?2及x0(0)?0可得：

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?Q0(1?e?at),t?2??2ay(t)??

Q?0(e2a?1)e?at,t?2??2a又

f(t)?ay(t)，可得：

?Q0(1?e?at),t?2??2f(t)??

Q?0(e2a?1)e?at,t?2??2将其代入特解中并化简得：

?(a(1?e?bt)?b(?1?e?at))Q0,t?2?2(a?b)bV?0C(t)???bt ?a(2?t)2a2b?at2a?bt2be(10e(e?1)(e?e)Q?2053(a?b)eV)?00,t?2?20(a?b)V0?

4．参数估计及具体解

根据题中所给数据以及所给的条件可知所给数据符合依据具体模型Ⅰ求得的酒精浓度关于时间变化的表达式，这里我们通过资料搜集得到信息人体中含有体液的总体积约为420百毫升[4]，由于常识我们很容易的知道了一瓶啤酒含有的酒精量为21700毫克。接下来我们运用最小二乘法结合Matlab软件拟合出a、b的值分别为：

a?2.0261,b?0.1842

于是具体模型Ⅰ的解为：

C(t)?113.667e?2.0261t(e1.8419t?1)

图像为：

（其中点为题中已知的数据点，曲线为拟合的曲线。）

具体模型Ⅱ的解为：

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?228.4262.0261(1?e?0.1842t)?0.1842(e?2.0261t?1)t?2?C(t)??6.46331?10?5e?0.1842t[2.29561?106?3.6797?107e?2.0261(2?t)?

?(e0.3684?2.0261t?e4.0522?0.1842t)]t?2?图像为：

??

5．问题1的解答

在此问题中，大李是在下午6点时接受检查的， 首先考虑到他喝啤酒的时间很短，则我们将此处理为具体模型Ⅰ的情景。在求解过程中我们以喝啤酒时刻为计算的初始时刻，而根据假设5，可以知道C0?0，又Q0?21700，把数据代入具体模型Ⅰ的解中求出第一次他在喝一瓶后6小时的血液中酒精浓度为：

18.8198（毫克/百毫升）

小于20毫克/百毫升,即通过检查。

7小时后血液中酒浓度为15.654毫克/百毫升。此时再喝下一瓶啤酒，我们以此刻为初始时刻，初始浓度为15.654毫克/百毫升，即：C0?15.654（毫克/百毫升） 将此代入模型Ⅰ的解，依然借用Mathematica软件得出凌晨2点时血液中酒精浓度为：

20.3968（毫克/百毫升）

大于20毫克/百毫升，即未通过检查。

6．问题2的解答

1）从题可知此小题的情况符合模型Ⅰ，且由题可知：

?Q0?21700?3? C?0?0将此代入模型Ⅰ的具体解，并计算出t的临界值，也就是当C(t)?20时t的值。可解如下方程：

113.667e?2.0261t(e1.8419t?1)?20

应用Mathematica软件解得

t?11.6341（小时）

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即短时间喝完3瓶啤酒后11.3641小时内驾车出行就会违反标准。

2）从题可知此小题的情况符合模型Ⅱ，且由题可知：

?Q0?21700?3? C?0?0将此代入模型Ⅱ的解，并计算出t的临界值，也就是当C(t)?20时t的值。这里我们同样假设T=2，由图像观察可知人体内酒精浓度的降低在大于2的区域，于是可解如下方程：

6.46331?10?5e?0.1842t[2.29561?106?3.6797?107e?2.0261(2?t)(e0.3684?2.0261t?e4.0522?0.1842t)]?20 应用Mathematica软件解得：

t?12.7169（小时）

即用2小时喝完3瓶啤酒的方式，在开始饮酒后12.7169小时内驾车出行就会违反标准。

7．问题3的解答

我们首先假设只喝3瓶啤酒，T?2，用作图的方式发现无论啤酒是在短时间内喝的还是在较长一段时间内喝的，在t??0,16?时只存在一个极值点并且当t不断增大时曲线逐渐趋近于t轴。于是我们可以用求C(t)的驻点的方法来求C(t)的最大值点即酒精含量最高的点。

在模型Ⅰ中，我们运用Mathematica软件求解方程

dC(t)?0得： dtt?1.35067（小时）

)?124.638（毫克/百毫升）此时最大浓度C(1.35067。

我们在模型Ⅱ的图像中发现最大值出现在t?2的区域内，我们运用Mathematica软

dC(t)?0，得 件求解方程dtt?2.62436（小时）

)?116.682（毫克/百毫升）此时最大浓度C(2.62436。

8．问题4的解答

在本问中我们假设每天喝进啤酒的量是Q0，每天只喝一次，是短时间进酒，两次间隔24小时。

一般地讲，如果天天饮酒，他们都喜欢短时间饮酒，因此采用模型Ⅰ的结果：

C(t)?aQ0(e?bt?e?at)?C0e?bt

V0(a?b)将V0?420,a?2.0261,b?0.1842,t?24的值代入上式得到当第一天血液中酒的浓

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