甘肃省天水市秦安县第三中学2014-2015学年高二上学期盟校期末考(2)

20（满分12分）解：（1）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则S1＝米)．...2

池底长方形宽为

4 800＝1 600(平方31 600米，则.............4 x1 6001 600S2＝6x＋6×＝6(x＋)．....6

xx1 600)≥240 000＋57 600＝297 600．......8 x（2）设总造价为y，则

y＝150×1 600＋120×6(x＋

当且仅当x＝

1 600,即x＝40时取等号．.......9 x所以x＝40时,总造价最低为297 600元．.......11

答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为297 600元．......12

21.（满分12分） 证：（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.??????1分

在Rt△BAD中，AD=2，BD=22， ∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2， 0），

∴AP?(0,0,2),AC?(2,2,0),BD?(?2,2,0) ??????3分

∵BD?AP?0,BD?AC?0，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. ??6分

解：（2）由（1）得PD?(0,2,?2),CD?(?2,0,0).

设平面PCD的法向量为n1?(x,y,z)，则n1?PD?0,n1?CD?0， 即??x?0?0?2y?2z?0，∴? 故平面PCD的法向量可取为n1?(0,1,1) ???8分

?y?z??2x?0?0?0∵PA⊥平面ABCD，∴AP?(0,01)为平面ABCD的法向量. ????10分

设二面角P—CD—B的大小为?，依题意可得cos??

n1?APn1?AP?2 . ????12分 222.（满分12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点。

（1）求证：命题“如果直线l过点T（3，0），那么OA?OB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，不必说明理由。 证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于

A(3,6)、B(3,－6)，

∴OA?OB?3。 ???????????3分 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

2?y2?2x12122

得ky－2y－6k=0,则yy=－6. 又∵x=y, x=y2, 12112?22?y?k(x?3) ∴OA?OB=x1x2+y1y2=

1(y1y2)2?y1y2=3. ???????7分 422

综上所述, 命题“......”是真命题. ???????8分

解法二：设直线l的方程为my =x－3与y=2x 联立得到y-2my-6=0

OA?OB=x1x2+y1y2=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×

2m+9＝3 ???8分

B. 逆命题是：“设直线l交抛物线y=2x于A、B两点,如果OA?OB?3,那么该直线过点

2

T(3,0).”??????????10分

逆命题为假命题。???????12分

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