20．（12分）已知椭圆C：直线l：x+my+
+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1
；
=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ） 若椭圆存在点M，使得2
=
+
，求直线l的方程． =0，
【解答】解：（Ⅰ）过F1直线l：x+my+令y=0，解得x=﹣∴c=
，
，
，
∵e==∴a=2，
∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1， ∴椭圆C的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3）， 由2
=
+
，得：x3=x1+x2）2+（y1+
x2，y3=y1+
y2代入椭圆方程可得：
（x1+
y2）2﹣1=0，
（x1x2+4y1y2）=1，
∴（x12+y12）+（x22+y22）+∴x1x2+4y1y2=0 联立方程
消x可得（m2+4）y2+2
my﹣1=0，
∴y1+y2=，y1y2=， ）（my2+
）+4y1y2
∴x1x2+4y1y2=（my1+=（m2+4）4y1y2+即m2=2， 解得m=±
m（y1+y2）+3=0，
所求直线l的方程：x±
y+=0．
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21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．
（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；
（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣alnx， 导数为f′（x）=x﹣，
函数f（x）在[，+∞）上单调递增，可得 f′（x）=x﹣≥0在[，+∞）恒成立， 即为a≤x2的最小值，
由x2在[，+∞）的最小值为， 可得a≤；
（2）证明：由f（x）=x2﹣alnx，a＞0， 可得f′（x）=x﹣，f″（x）=1+即有f（x）为凹函数，
由m1+m2=1，可得对任意的两个正实数x1，x2， 总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立； （3）由f（x）=x2﹣2lnx， 可得导数为f′（x）=x﹣， f″（x）=1+有f（
＞0，则f（x）为凹函数，
）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）]，
）=3f（1）=3×=，
＞0，
即为f（x1）+f（x2）+f（x3）≥3f（则f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为．
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[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2），直线l的参数方程为（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|?|MB|的值． 【解答】（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为： ρ=2
sin（θ﹣
）=2
（sinθcos
﹣cosθsin
）=2sinθ﹣2cosθ，
sin（θ﹣
t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．
∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，
∴圆C的直角坐标方程x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣1）2=2． （Ⅱ）直线l的参数方程为
，t为参数，
直线l的参数方程可化为，t′为参数，
代入（x+1）2+（y﹣1）2=2，得（﹣化简得：t'2﹣∴
﹣1=0，
+1）2+（）2=2，
=﹣1，
|=1．
∴|MA|?|MB|=|
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若?x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围． 【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲
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解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
即|x﹣m|﹣3≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）． ∴m+3=4，m﹣3=﹣2，解得m=1．
（Ⅱ）∵?x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，即|x﹣1|﹣3≥t+|2﹣x|， ∴?x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3，
令g（t）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，
∴?x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3成立， ∴t+3≤g（x）max=1，∴t≤﹣2．
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