空间解析几何与向量代数(7)

W =|F ||S |?cos θ， (1)

等式(1)的右端F 在S 方向上投影与S 模的积．这是两个向量F ,S 的一种运算，称为F ,S 的数量积或点积．

(1)向量夹角

设a ,b 为非零向量，将它们的起点都平移到同一点，那么表示a ,b 的两个线段所成的

在0与π之间的角，称为量a ,b 的夹角，记为(a ,b )或(b ,a )；若(a ,b )=2

π，则称a ,b 垂直，

记作a ⊥b ；0与任何向量夹角无意义；向量与坐标轴的夹角就是向量与轴正向所成的角．

(2)向量的数量积

定义 设a ,b 是两个向量，它们的模|a |,|b |及夹角的余弦cos(a ,b )的乘积，称为向量a 与b 的数量积(或称点积)，记作a ·b ，即

a ·

b =|a ||b |?cos(a ,b )

向量的数量积是一个数量，它由两个因子构成，第一因子是向量a 在向量b 方向上投影向量的模|a |?cos(a ,b )；第二因子则是向量b 的模|b |．因此向量的数量积实际上是一个向量在另一个向量上的投影积．

由向量的数量积的定义，立即可得三个坐标基向量i ,j ,k 之间的数量积关系为 i ?i =j ?j =k ?k =1；i ?j =i ?k =j ?i =j ?k =k ?i =k ?j =0．

数量积有以下运算性质：

①a ?a =|a |2, (a ?a 允许简写成a 2)；

②a ?0=0，其中0是零向量；

③交换律：a ?b =b ?a ；

④结合律：(λa )?b =a ?(λb )=λ(a ?b )，其中λ是任意实数；

⑤分配律：(a +b )?c =a ?c +b ?c ．

例 已知(a , b )=π3

2，|a |=3,|b |=4，求向量c =3a +2b 的模．解 |c |2=c ?c =(3a +2b )?(3a +2b )=3a ?(3a +2b )+2b ?(3a +2b )

=9a ?a +6a ?b +6b ?a +4b ?b =9a 2+12a ?b +4b 2=9a 2+12|a ||b |cos(a ,b )+4b 2，

将|a |=3,|b |=4, (a , b )=π3

2代入，即得 |c |2=9×32+12×3×4cos π3

2+4×42=73，所以，|c |=|3a +2b |=73．# 2 数量积的坐标表示式

设a =a x i +a y j +a z k ，b =b x i +b y j +b z k ．

a ·

b = (a x i +a y j +a z k )·(b x i +b y j +b z k )

=a x i ·(b x i +b y j +b z k )+ a y j ·(b x i +b y j +b z k )+ a z k ·(b x i +b y j +b z k )

即 a ·b =a x b x +a y b y +a z b z

例 设a =2i +3j -k ，b =i -j +k ，求a ·b , a 2, (2 a )·(2b )．

解 a ·b =(2,3,-1)·(1,-1,1)=2×1+3×(-1)+(-1)×1=-2；

a 2=22+32+(-1)2=14；

(3a )·(2b )=(6,9,-3)·(2,-2,2)=6×2+9×(-2)+(-3)×2=-12．#

例1-3 见课本.303305P ?7.2-2 向量的向量积

1.向量的向量积概念

7

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