空间解析几何与向量代数(20)

为N 1=(A 1,B 1,C 1), N 2=(A 2,B 2,C 2)．平面之间的关系，可以从法向量N 1,N 2之间的关系导出：

①平面π1//π2 ? N 1//N 2 ? N 1×N 2=0 ?2

12121C C B B A A ==， (若某个分母为0，则对应分子也为0,重合作为平行的特例)． ②平面π1⊥π2 ? N 1⊥N 2 ? N 1?N 2=0 ? A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0． ③若π1, π2既不平行也不垂直，记(π1,π2)为π1, π2所成两面角的平面角(简称平面夹角)，因为(π1,π2)≤90°，所以

cos (π1,π2)=|cos(N 1, N 2)|=||||||2121N N N N ?=21

2121222222212121C B A C B A C C B B A A ++++++．

例5-6 见课本.

328P 点到平面的距离公式:

已知平面π：Ax +By +Cz +D =0和平面外一点P (x 0,y 0,z 0)，过P 0作π的垂线，垂足为Q ．称d =|QP |为点P 到平面π的距离．

π的单位法向量n =2221

C B A ++(A ,B ,C ),设垂足Q 坐标为(x 1,y 1,z 1)，则

QP =(x 0-x 1,y 0-y 1,z 0-z 1)．因为QP //n ，所以(QP ,n )=0或180°．据向量的数量积定义

QP ?n =|QP ||n |(±1)= ±|QP ||n|=±d ，即

d =2221

C B A ++|A (x 0-x 1)+B (y 0-y 1)+C (z 0-z 1)|,

注意 Q ∈π，Ax 1+By 1+Cz 1+D =0，所以

d =222000|

|C B A D Cz By Ax +++++．

例7 求点(1,-1,2)到平面2x +y -2z +1=0的距离d ．

解 d =3

2)2(121

22)1(112222=?+++×??×+×．# 例8 求直线l ：3

,1=?+=+?z y x z y x 上与平面π：x +y +z =1的距离为3的点P ． 解 l 的方向向量s =k -j -i -1

11111111111 -+?=2(j +k )或(0,1,1).易求得点M (2,1,0)∈l ，所以可改写l 的方程为参数式：x =2, y =1+t , z =t ．

设l 上距π为3的点所对应的参数为t 0，则

3=3|

1)()1()2(|00++++t t ，|t 0+2|=233，t 0=-2±2

33．20

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