厦门大学2013级高等数学经管类A期中试卷含答案(3)

4、（8分）设1e ,0(),0sin ,0e 1

x x a x f x b x x

x -

??+>?

==???<-?, 试问

（1）,a b 为何值时，()f x 在(,)-∞+∞内连续？（2）()f x 在0x =处是否可导? 解 只须考虑()f x 在0x =处的连续性和可导性. （1）为使()f x 在0x =处连续，则有 0

lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-

→→==， 即 1a b ==. （2）10

1e 1

(0)lim 0x

x f x

+

-

+→+-'==， 2000sin 1sin e 1sin e 1e 1(0)lim lim lim (e 1)x x x x x x x x

x x f x x x ---

-→→→--+-+-'===- 00cos e sin e 1

lim lim 222

x x x x x x x --

→→---===-. 故()f x 在0x =处不可导.

5、（8分）讨论函数2()e x

f x x -=的单调性，并求出该函数在实数范围内的极值和最值.

解 2()(2)e

(2)e x

x f x x x x x --'=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x =.

函数2

2()e x f x x -=在(,0)-∞及(2,)+∞上单调减少，在(0,2)上单调增加. 于是，函数2

2()e x f x x -=在0x =处取得极小值，极小值为(0)0f =，在2x =处取得极大值，极大值为2

(2)4e f -=.

由于lim ()x f x →-∞

=+∞，而lim ()0x f x →+∞

=，因此，函数()f x 没有最大值，在0x =处取得最小值0.

6、（8分）设函数()f x 在0x =处连续，且0()

lim

2

e 1x x

f x →=-，求：（1）(0)f '；（2）20(tan sin )lim ln(1)

x f x x x x →-+.

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