高中数学竞赛讲义9(7)

因为，所以①式成立。

所以f(a, b, c) ≥

，所以f(a, b, c)min

=

2．几个常用的不等式。

（1）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, , n，则等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, , n, ai=λbi,

变式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, , n，则等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, , n)。

变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, , n)，则等号成立当且仅当b1=b2= =bn.

（2）平均值不等式：设a1, a2, ,an∈R+，记Hn=, Gn=,

An

=

均≤算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a1=a2= =an.

，则Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平

【证明】 由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An. 1）当n=2时，显然成立；

2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记因为a1+a2+ +ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥≥

所以由数学归纳法，结论成立。

（3）排序不等式：若两组实数a1≤a2≤ ≤an且b1≤b2≤ ≤bn，则对于b1, b2, , bn的任意

2kGk+1,

=Gk+1.

所以a1+a2+ +ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.

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