八、微分方程复习题
1、y e
x y
的通解为----------------------------------------------------------------------（ B ） （A）ex
e
y
C （B）ex e y C （C）e x ey C （ D）ex ey C
注1：一阶可分离变量微分方程y f(x)g(y)的解法为 dyg(y)
f(x)dx.
对选择题1，y exey
,
e
y
dy exdx，则选（ B ）.
如：求y e2x 3y
的通解.
2、y Cx
1 C2e是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（ A ） （A）y y 0 （B）y y 0 （C）y y 0 （D）y y 0 注1：y py qy 0的特征方程为r2
pr q 0， 0,不要求； 若 0,特征方程有两个不同实根rrr1 r2，原方程通解为y C1e
1x
C2e2x
；
若 0,特征方程有两个相同实根r，原方程通解为y (Cx)erx
1 C2.
对选择题2，因1 e0x
,ex
e1x
为该微分方程的两个特解，则r1 0,r2 1为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为r(r 1) r2
r 0，故选（A） 如：y y 0的通解为y C x
1e C2ex；
通解为y Cx
1e
C2ex，则微分方程为y y 0.
又如：y 2y y 0的通解为y (C x
1 C2x)e； 通解为y (C x
1 C2x)e，则微分方程为y 2y y 0. 3、 微分方程y 4y 4y xe 2x
的一个特解可设为---------------------------（C）
（A）(ax b)e
2x
（B）x(ax b)e
2x
（C）x2(ax b)e
2x
（D）x3e
2x
注1：y py qy ce x
的特解可设为y*
axke x
，当 为其相应特征方程
r2 pr q 0的非特征根，单根，重根时，k分别取0,1,2.
注2：y py qy (cx d)e x的特解可设为y* (ax b)xke x
，当 为其相应
特征方程r2
pr q 0的非特征根，单根，重根时，k分别取0,1,2.
对选择题3，因 2为其相应特征方程r2
4r 4 0的重根，取k 2，其特解可设为y*
(ax b)x2e 2x
；y y 1的特解可设为y*
ax.
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2
4、解微分方程
y 2xy 2xe x
.
y(0) 0 注1：y Py Q的通解可用公式法y e Pdx(
Qe Pdx
dx C)，
也可用构造法，利用(ye
Pdx
)' Qe
Pdx
求其通解.
解（一）：公式法：P(x) 2x,Q(x) 2xe x
2
P(x)dx x2
，
Q(x)e P(x)dx
dx 2xe x2 ex2
dx x2
故通解为y e
x2
(x2 C)
由y(0) 0得C 0， 因此 y x2
e x2
.
解（二）：构造法：(ye 2xdx
)' 2xe x2e 2xdx
，则(yex2)' 2x，
于是ye
x2
2xdx x2 C,有y e x2
(x2 C)，下与解（一）相同.
如：求解微分方程y
yx 1
x 1 x2
1． 简要解答: 公式法， y e
1
x ( e
1
1dx
x 1dxx 1x2
1dx C) eln(x 1)( e ln(x 1)
x 1x2 1dx C) (x 1)( 1
x2 1
dx C) (x 1)(arctanx C) 构造法：(e 1x 1dxy)' e 1x 1
dxx 1x2 1，则(e ln(x 1)y)' e
ln(x 1)x 1x2 1
， 化简得(yx 1)' 1
x2
1， 则y1x 1 x2 1
dx arctanx C，有y (x 1)(arctanx C)． 1
1注意：elnu u，如elnu u,e lnx elnx 1,e2x 3lnx e2xelnx3 1
xxx3e2．
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