三、计算题（8分）
过原点的抛物线y ax2
(a 0)及y 0，x 1所围成的平面图形绕x轴一
周的体积为V 81
x5 . 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积Vy．
解：由V 10(ax2)2dx 81
x 5
-----------------------------------------------------------2
得a 9，抛物线为：y 9x2
----------------------------------------2
则V 9y9
y 9 09 2
．----------------------------------------4
四、计算题（本题8分）
求曲面x2y2z2
4 1 9
3上点P 2, 1,3 处的切平面方程和法线方程. 解：记F x,y,z x2y241 z2
9 3，则 Fx2
x x,y,z 2，Fy x,y,z 2y，Fz x,y,z 9
z-------------------------------2
于是曲面在点P处的法线向量为n
(F 2,2x P ,Fy P ,Fz P ) (1,3
)----------2
则切平面方程为1 x 2 2 y 1 23 z 3 0，即x 2y 2
3
z 6 0，------2
法线方程为x 21 y 1z 3
2 3
.----------------------------------------2 五、计算题（８分）
将f(x) 1
x2 3x 2展开成(x 4)的幂级数，指出展开式成立的区间，
并求f(n)
( 4)，n为正整数.
解: f(x) 1121 (x 4)2 11
31 (x 4)------------------------------------------------2
(11
n 1 n 1)(x 4)n,-----------------------------------------------------------2
n 02
3因(x 4)2<1，且(x 4，则x (6, 2)
------------------------------------------2 因
f(n)( 4)n!=1111
2n 1 3n 1，则f(n)( 4)=(2n 1 3
n 1)n!.------------------------------2 第２页 共3页
六、计算题（本题8分）
设I
1x
dx 0，请先对I交换积分次序，再计算I的值.
解：I
110
dy y
---------------------------------------------------------------3
1
1120 2 y
x y2d 1 x2 y2
dy-----------------------------------------1 11
31
3 0 1 x2 y2 2 dy-------------------------------------------------------------2 y 1 1 y31
30 1 dy 4
.------------------------------------------------------------------2
七、应用题（本题8分）
“蒙古包”是满族对蒙古族住房的称谓，“包”是家的意思． 蒙古包的侧面是圆柱形，其包顶是半球形，包顶的单位面积造价是其侧面的1.5倍，在搭建时若要求蒙古包容纳的体积45 一定，问怎样搭建才能使总造价最低？ 解：设蒙古包底圆半径为r，侧高为h，侧面的单位面积造价为k． 则45 r2
h
233
r 其造价S 2k rh 3k r2
, r 0,h 0---------------------------2
该问题为求S函数在条件45 r2
h 233
r 0下的最小值-----------1
构造函数L 2k rh 3k r2 (45 r2
h 23
r3)-----------------1
L r 2k rh 6k r 2 rh 2 r2
0 L 2
h 2k r r 0 ------------------------2
45 r2
h 23 r3 0 解得h r 3．-----------------------------------------------------2
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