大学毕业论文——微分中值定理应用初探(12)

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3.6 证明有关重要理论

例12（导数极限定理）设函数f在点x0的某邻域U(x0)内连续，在Uo(x0)内可导且极限limf'(x)存在，则f在点x0可导，且

x x0

f'(x0) limf'(x)

x x0

o

证明：（1）任取x U (x0)，f(x)在[x0,x]上满足Lagrange中值定理，则

(x0,x)，使得

f(x) f(x0)

f'( ) （*）

x x0

由于 (x0,x)，故当x 时，有 ，对（*）式两边取极值，使 x0 x0

得 lim

x x0

f(x) f(x0)

limf'( ) f'(x0 0)

x x0x x0

（2）同理可得 f' (x0) f'(x0 0)

由于limf'(x) k ，故 f'(x0 0) f'(x0 0) k，从而

x x0

f' (x0) f' (x0) k，即 f'(x0) k

例13 .(微积分基本公式)如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一

个原函数，则 f(x)dx F(b) F(a)

ab

证明: 在[a,b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2 xn 1 xn b

F(b) F(a) [F(xi) F(xi 1)]

i 1

n

对于上式右边的和式中的每一项应用微分中值定理

F(b) F(a) F'( )(xi xi 1)

i 1

n

f( )(xi xi 1), xi 1 xi.

i 1

n

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