大学毕业论文——微分中值定理应用初探(10)

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显然，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a) F(b)

F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件， 所以，故至少存在一点 (a,b)，

使得 F'( ) 0 即 f( ) f'( )

即

bf(b) af(a)

0

b a

bf(b) af(a)

f( ) f'( ) #

b a

注：例8采用的方法称为常数k值法，通常它可以如下进行： （1） 令常数部分为k；

（2） 恒等变形，使等式一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构

成的代数式；

（3） 看两端的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只须把a（或b）

改为x，相应的函数值f(a)（或f(b)）改成f(x)，则替换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数F(x).

例9.设f(x)在[-1，1]内有三阶连续导数，且f( 1) 0，f(1) 1，f'(0) 0 求证： ( 1,1)使f'"( ) 3

证明：作三次多项式 p(x) Ax3 Bx2 Cx D，满足p(1) 1，p'(0) 0 p( 1) 0,p(0) f(0)，由此得 C 0，D f(0)，

A

1111

，B f(0) 即 p(x) x3 [ f(0)]x2 f(0)

2222

而令 (x) f(x) p(x)，则 ( 1) (0) '(0) (1) 0 先在[-1，0]和[0，1]上对 (x)用罗尔中值定理知存在

1 1 0 2 1，使得 '( 1) '(0) '( 2)，再在[ 1,0]，[0, 2]上

对 '(x)用罗尔中值定理得，使得 "( 1) "( 2) 1 1 0 2 2，

再在[ 1, 2]上对 "(x)用罗尔中值定理得， ( 1, 2) ( 1,1)，使得

'"( ) 0，又 '"(x) f'"(x) 3， 故 f'"( ) 3 注：例9所表述的方法称为多项式函数法，在运用时须注意所设函数导数的阶数

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