热传导方程几种差分格式的MATLAB数值解法比较(2)

h2），O（τ2+h2）和O（τ2+h2）［1］．1.2

初、边值条件的处理

1

可算出u在第一层各个节点处的近似值uj．重

可以逐层计算出所有的uj．复使用此式，

隐式格式：将（7）式与离散化的初边值条件联立，得差分方程组：

k+1k+1k+1kk

－rUj－1+（1+2r）Uj－rUj+1=Uj+τfj 2，…，N－1，j=0，1，…，M－1） （k=1，

（11）

0

U=（k=0，1，…，N）?jj k

U0=g1k，Uk（j=0，1，…，M）L=g2k将上述方程组改写成矩阵形式

k

对定解条件进行离散化．由初始条件及第一

类边界条件，可直接得到：

U00）=?j，（j=0，1，…，M）；j=u（xj，

k

U0=u（0，tk）=g1k，

Uktk）=g2k，（k=1，…，N）．L=u（L，1.3

稳定性分析令r=

aτ

为网格比，显式格式公式（2）变为：h2

+1kUk=rUkj+1+（1－2r）Uj+J

krUk（6）j－1+τfj

使用Fourier方法可知，当r≤1/2时显式格式稳定．

隐式格式变为：

+1k+1

－rUk－j－1+（1+2r）Uj

+1kkrUkj+1=Uj+τfj．

（7）

由Fourier方法可得隐式格式恒稳定．Crank-Nicolson格式变为：

－

rk+1+1Uj－1+（1+r）Uk－j2

k+1k

U1 U1+rg1j+1

k Uk+1 U22

? = ? k+1 UM－2 UkM－2 k+1 k UM－1 UM－1+rg2j+1

（12）

此方程组是三对角方程组，且系数矩阵严格对角

故解存在唯一．通过在每一时间层上求解占优，

一个这样的线性方程组得到在各个时刻各个网格点上的函数值．

（8）

Crank-Nicolson格式：将（8）式与离散化的

得差分方程组：初边值条件联立并整理，

r+1+1k+1

－rUk－Ukj－1+（1+r）Ujj+1=22

rk

rkkk

2Uj+1+（1－r）Uj+2Uj－1+τfj

2，…，N－1，j=0，1，…，M－1） （k=1，

U0=?（j=0，1，…，M）jj k U0=g1k，Uk（k=1，2，…，N）L=g2k

rk+1rk

U=U+2j+12j+1（1－r）Ukj+

rk

Uj－1+τfkj．2

对于r＞0恒有增长因子|G|≤1，恒稳定．

DuFortFrankel格式变为：

+1－1

（1+2r）Uk=（1－2r）Uk+jj

2rU

k

j－1

+2rU

kj+1

+2τf．

kj

（9）

（13）

由Fourier方法可得DuFortFrankel格式恒稳定．

2差分格式的求解

显式格式：将（6）式与离散化的初边值条件结合，得到求解此问题的差分方程组：

k+1kkkk Uj=rUj+1+（1－2r）Uj+rUj－1+τfj 2，…，N－1，j=0，1，…，M－1） （k=1， 0

Uj=?j（j=0，1，…，M） k

U0=g1k，Uk（k=1，2，…，N）L=g2k

与隐式格式类似，用六点格式由第k时间层的值

k+1

Uk时，需求解三j计算第k+1时间层的值Uj对角方程组

：

（10）

由于初始时间层上的u值为已知，由（10）式即

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