解线性最小二乘问题的正交化方法及应用(3)

　第1期　　　　　　　　　　　　　曹　蓉:解线性最小二乘问题的正交化方法及应用

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for　　j=1∶n

[v,#]=house(A(j∶m,j))

T

A(j∶m,j∶n)=(Im-j+1-#vv)A(j∶m,j∶n)d(j)=#

if　j<m

　A(j+1∶m,j)=v(2∶m-j+1)end

end

function:[v,#]=house(x)

n=length(x)

=‖x‖∞　　x=x/

T

!=x(2∶n)x(2∶n)

v(1)=1∶v(2∶n)=x(2∶n)

if!=0　#=0else

　 =x(1)+!　if　x(1)≤0

　　v(1)=x(1)- else

　v(1)=-!/(x(1)+ )

end

22

#=2v(1)/(!+v(1));v=v/v(1)

end

2　解最小二乘问题的正交化方法

求解线性最小二乘问题的新算法,,而直接从矛盾方程组Ab=Y入手.常应用

R

Householder变换把系数矩阵A正交三角化,使QA=,其中R为n阶上三角阵,0为(m-n)×n的零矩阵,

由(3)式得到的一个m.mQY相应地分块成n维向量c与(m-n)维向量d,即QY=ccRc-Rb.于是Qr=QY-QAb=-(4)b=dd0　d

因Q是正交矩阵,所以‖r‖2=‖Qr‖2=‖c-Rb‖2+‖d‖2,若选择b,c-Rb=0(5)

00

那么‖r‖2将达到极小值,此时由(4)可得‖r‖2=‖d‖2,且从(4)有Qr=,故r=QT.

dd

由(5)可知,n阶上三角形方程组的解b就是最小二乘解,它是非常容易求解的.这样,可描述正交化方法求最小二乘解的计算步骤为:

1)对m×n矩阵A建立QR分解A=QR;2)计算C=QY,形成方程组Rb=c;

3)用回代法解Rb=c得出最小二乘解b.

正交化方法因其数值稳定而显得优于求解法方程,但因对A建立分解的计算量较大,故除非已经有了这种分解的资料可直接引用或者法方程病态,一般还是愿意从法方程来求最小二乘解的.

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3　数值实例

01111,2

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