二次型矩阵的应用

第２９卷第３期凯里学院学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＫａｉｌｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖ０１．２９Ｎｏ．３

２０１１年６月ＪｕｒＬ２０１１

二次型矩阵的应用

’

黄朝军

（凯里学院理学院，贵州凯里５５６０１１）

摘要：探讨二次型矩阵在不等式、矩阵运算和曲线切线几个方面的应用．

关键词：二次型矩阵；半正定；二次曲线

论文编码：Ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—９３２９．２０１１．０３．０５

一个系数在数域Ｐ上含有，ｚ个变元工。，ｚｚ，…，Ｘ。的二次齐次多项式ｆ（ｘｔ，ｚｚ，…，ｚ。）＝ａｌｌｚｉ＋２ａ１２ｚｌＸ２十…＋２ａｌ。ｚｌｚ。＋ｎ２２ｚ；＋…＋

２ａ２。ｚ

２ｚ。＋…＋口。ｚ：称为数域Ｐ上的一个咒元二

ＺｌＺ２

：

●

６）２．又Ａ—Ｉ一１

ｆ

２

—１—１１

２

—１

２

Ｉ，其二次型为ｆ（ｚ，，

【一１—１ｆ

２

Ｊ

次型，简称二次型‘１。．采用矩阵，记ｘ—

Ｚｎ

ｎ１１口２１

ａ１２口２２

●

●

●

—１—１］

２

口口

【一１—１

（口口一口鼻，ｉ，＿『＝１，２，

Ｊ

●●

●

Ａ＝２

口ｍ

口ｎ１

●●●

口”２

…，珂）是对称矩阵，则二次型可表示为ｆ（ｘ。，ｚｚ，

＝［ｉ！；；５一｝ｊ５】一［ｉｚ；５蚤］，量此看

…，ｚ。）一ｒＡｘ，称Ａ是二次型的矩阵．一个二次

型可经过可逆线性替换化为只含有平方项的形式（称为标准形），即ｇ（Ｙｌ，ｙ２，…，弘）＝ｄｌＹｉ＋ｄ２拼＋…＋ｄ。Ｙ：．标准形所对应的矩阵是一个对角矩阵．如果标准形中的系数ｄ。，ｄ：，…，ｄ。全为正数，则二次型ｆ（ｘ，，ｚ。，…，ｚ。）为正定二次型，这时任意不全为零的实数ｚｌ，ｚ２，…，Ｘ。都有ｆ（ｘｌ，ｚ２，…，．７２。）＝ＸＴＡＸ＞Ｏ；如果标准形中的系数ｄ，，ｄ２，…，ｄ。全为非负数，则二次型，为半正定二次型，这时任意不全为零的实数ｚ。，ｚ。，…，ｚ。都有ｆ（ｘ。，Ｘ。，…，ｚ。）＝Ｘ＇ｒＡＸ≥０．二次型的更多有关概念和性质在此不再赘述．

比如，完全平方公式（ｎ一６）２＝ａ２—２ａｂ＋ｂ２中的口２—２ａｂ＋ｂ２就是一个简单的二元二次型，它

则得到不等式３（ａ２＋ｂ２十ｆ２）≥（口＋６＋ｆ）２．进一

的矩阵为（一１１—１１），可化为对角矩阵（：：），

收稿日期：２０１１—０３—０６

基金项目：凯里学院基础数学重点学科资助项目（ＫＺＤ２００９００１）

作者简介：黄朝军（１９７１一），男，贵州德江人，凯里学院理学院副教授，研究方向为计算数学．

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