陕西科技大学过程设备设计期末考试复习之过设重点计算题汇总复习

习题

1.

试应用无力矩理论的基本方程，求解圆柱壳中的应力（壳体承受气体内压p，壳体中面半径为R，壳体厚度为t）。若壳体材料

由20R（

?b?400MPa,?s?245MPa）改为16MnR（

?b?510MPa,?s?345MPa）时，圆柱壳中的应力如何变化？

为什么？

解：○1求解圆柱壳中的应力

应力分量表示的微体和区域平衡方程式：

??R1???R2??pz? F??2??rk0rpzdr?2?rk??tsin?

圆筒壳体：R1=∞，R2=R，pz=-p，rk=R，φ=π/2

???pRt???prk2?sin??pR2t

2壳体材料由20R改为16MnR，圆柱壳中的应力不变化。因为无力矩理论是力学上的静定问题，其基本方程是平衡方程，而且仅通○

过求解平衡方程就能得到应力解，不受材料性能常数的影响，所以圆柱壳中的应力和大小不受材料变化的影响。 2.

对一标准椭圆形封头（如图所示）进行应力测试。该封头中面处的长轴

指示分布

D=1000mm，厚度t=10mm，测得E点（x=0）处的周向应力为50MPa。此时，压力表A数为1MPa，压力表B的指示数为2MPa，试问哪一个压力表已失灵，为什么？ 解：○1根据标准椭圆形封头的应力计算式计算E的内压力：

标准椭圆形封头的长轴与短轴半径之比为2，即a/b=2，a=D/2=500mm。在x=0处的式为：

应力

???pa22btp?2bt??a2?2?10?502?500?1MPa

2从上面计算结果可见，容器内压力与压力表A的一致，压力表B已失灵。 ○

3.

有一锥形底的圆筒形密闭容器，如图所示，试用无力矩理论求出锥形底壳中

的最大底的半pc。

薄膜应力σθ与σφ的值及相应位置。已知圆筒形容器中面半径R，厚度t；锥形锥角α，厚度t，内装有密度为ρ的液体，液面高度为H，液面上承受气体压力解：圆锥壳体：R1=∞，R2=r/cosα（α半锥顶角），pz=-[pc+ρg(H+x)]，φ=π/2-α,r?R?xtg?

2F??RR?pc?pc?H?g???H?g???31xR?r?Rr?g?2?r??tcos?xR?r?Rr?g

?22?2???232rtcos??22?r x ?22?2xtg?R?pc?H?g??x??R?xRtg??3????g??2?R?xtg??tcos???R1???R2??pzt???d??dx令：?pc???H?x??g??R?xtg?tcos?1?tcos?dx?0??g?R?xtg????pc??H?x??g?tg??1d??dx22d??pctg?????x?R?Htg????2tg???g???2?gtg?tcos?

?0在x处??有最大值。??的最大值在锥顶，其值为?。??????max?4.

???pc??pctg??1??R????????H??gR?Htg???pc??H?????????2tg??g?g?????????????2tcos?

一单层厚壁圆筒，承受内压力pi=36MPa时，测得（用千分表）筒体外表面的径向位移w0=0.365mm，圆筒外直径D0=980mm，E=2

×105MPa，μ=0.3。试求圆筒内外壁面应力值。 解：周向应变

???物理方程

?r?w?d?rd??rd??wrw?r??

???仅承受内压时的Lamè公式

1E???????r????zw?r???rE???????r??z??

?r??22?R0?pi?R0??1?2???1?2??22?2?R0?Ri?r?K?1?r???piRi222?R0?pi?R0??1?2?????22?K2?1?1?r2?

R0?Ri?r????piRi2?z?在外壁面处的位移量及内径：

piRi222R0?Ri?piK2?1wr?R0?K?EK?piR02?1??2????w036?490??2?0.3?2?10?0.36551?R0KpiR0Ew?0?2????1??1.188

Ri?内壁面处的应力值：

4901.188?412.538mm?r??pi??36MPapiKK2????外壁面处的应力值：

?1?1?1?K??36?21.1881.18822?1?1?211.036MPa

z?pi2?361.1882?1?87.518MPa?r?02piKK2????5.

s

?1?1??2?361.1881.1882?1?1?175.036MPa?87.518MPa

z?pi2362有一超高压管道，其外直径为78mm，内直径为34mm，承受内压力300MPa，操作温度下材料的 σb=1000MPa，σ

=900MPa。此管道经自增强处理，试求出最佳自增强处理压力。

解：最佳自增强处理压力应该对应经自增强处理后的管道，在题给工作和结构条件下，其最大应力取最小值时对应的塑性区半径Rc情况下的自增强处理压力。对应该塑性区半径Rc的周向应力为最大拉伸应力，其值应为经自增强处理后的残余应力与内压力共同作用下的周向应力之和：

?????s?1?3??222?R0?????RRi?c??????R???R??R2?R2?c??0i????0???1???22?Rc?Rc??piRi?????R??2lnR??R2?R2i???0?0i????1???2?R0??????R? ?c???令其一阶导数等于0，求其驻点

????Rc2?s??2?sR2033Rc22??R?2Ri?c????R??R2?R20i???0???1???2?Rc?Rc??????2ln????R?Ri???0???

??1?3??222?Rc?R0???Ri2piRiR01???Rc?????R??R2?R2?R2?R2?R???R2?R2R3?0?c???c??0i?00ic???0解得：Rc=21.015mm。根据残余应力和拉美公式可知，该值对应周向应力取最大值时的塑性区半径。

由自增强内压pi与所对应塑性区与弹性区交界半径Rc的关系，最佳自增强处理压力为：

pi?6.

?22?R?RRc?Sc?0??589.083MPa ?2ln2?Ri?Ro3??承受横向均布载荷的圆平板，当其厚度为一定时，试证明板承受的总载荷为一与半径无关的定值。

证明：○1周边固支情况下的最大弯曲应力为

?max?2周边简支情况下的最大弯曲应力为： ○

3pR4t22?3p?R4?t2?2??3P4?t2

?max?7.

3?3???pR8t22?3?3???p?R8?t2?2??3?3???P

8?t2有一周边固支的圆板，半径R=500mm，板厚=38mm，板面上承受横向均布载荷p=3MPa，试求板的最大挠度和应力（取板材的E=2

×105MPa，μ=0.3） 解：板的最大挠度：

D??fEt32121??pR4???2?10?3812?1?0.33?5004532???1.005?109

wmax?板的最大应力：

64D??64?1.005?109?2.915mm?max?8.

3pR4t22?3?3?5004?3822?389.543MPa

上题中的圆平板周边改为简支，试计算其最大挠度和应力，并将计算结果与上题作一分析比较。

解：板的最大挠度：

w板的最大应力：

smax?pR45??64D?1???5?0.31?0.3?2.915?4.077?2.915?11.884mm

?max?3?3???pR8t22?3?3?0.3??3?5008?3822??3?0.3?2?389.543?1.65?389.543?642.746MPa

简支时的最大挠度是固支时的4.077倍；简支时的最大应力是固支时的1.65倍。 9.

一穿流式泡沫塔其内径为1500mm，塔板上最大液层为800mm（液体密度为ρ=1.5×103kg/m3），塔板厚度为6mm，材料为低碳钢

5

（E=2×10MPa，μ=0.3）。周边支承可视为简支，试求塔板中心处的挠度；若挠度必须控制在3mm以下，试问塔板的厚度应增加多少？

解：周边简支圆平板中心挠度

D??Et32121??4???2?10?612?1?0.3532???39.56?105p?h?g?0.8?1500?9.81?11772Pawsmax?0.012MPa5?0.3?61.14mm

?pR5??64D?1???0.012?7504564?39.56?101?0.3挠度控制在3mm以下需要的塔板厚度

塔板刚度需增加的倍数需要的塔板刚度t?3：61.143?20.385：?D??20.38?39.56?103?806.2328?10?1055

121??E?2?D?12?1?0.3?2??806.232852?10?16.4mm需增加10.4mm以上的厚度。

10. 三个几何尺寸相同的承受周向外压的短圆筒，其材料分别为碳素钢（σs=220MPa，E=2×105MPa，μ=0.3）、铝合金（σs=110MPa，E=0.7×10MPa，μ=0.3）和铜（σs=100MPa，E=1.1×10MPa，μ=0.31），试问哪一个圆筒的临界压力最大，为什么？ 答：碳素钢的大。从短圆筒的临界压力计算式

5

5

pcr?2.59EtLD02D0t

可见，临界压力的大小，在几何尺寸相同的情况下，其值与弹性模量成正比，这三种材料中碳素钢的E最大，因此，碳素钢的临界压力最大。

11. 两个直径、厚度和材质相同的圆筒，承受相同的周向均布外压，其中一个为长圆筒，另一个为短圆筒，试问它们的临界压力是否相同，为什么？在失稳前，圆筒中周向压应力是否相同，为什么？随着所承受的周向均布外压力不断增加，两个圆筒先后失稳时，圆筒中的周向压应力是否相同，为什么？

答：○1临界压力不相同。长圆筒的临界压力小，短圆筒的临界压力大。因为长圆筒不能受到圆筒两端部的支承，容易失稳；而短圆筒的两端对筒体有较好的支承作用，使圆筒更不易失稳。

2在失稳前，圆筒中周向压应力相同。因为在失稳前圆筒保持稳定状态，几何形状仍保持为圆柱形，壳体内的压应力计算与承受内○

压的圆筒计算拉应力相同方法。其应力计算式中无长度尺寸，在直径、厚度、材质相同时，其应力值相同。

3圆筒中的周向压应力不相同。直径、厚度和材质相同的圆筒压力小时，其壳体内的压应力小。长圆筒的临界压力比短圆筒时的小，○

在失稳时，长圆筒壳内的压应力比短圆筒壳内的压应力小。

12. 承受均布周向外压力的圆筒，只要设置加强圈均可提高其临界压力。对否，为什么？且采用的加强圈愈多，壳壁所需厚度就愈薄，故经济上愈合理。对否，为什么？

答：○1承受均布周向外压力的圆筒，只要设置加强圈均可提高其临界压力，对。只要设置加强圈均可提高圆筒的刚度，刚度提高就可提高其临界压力。

2采用的加强圈愈多，壳壁所需厚度就愈薄，故经济上愈合理，不对。采用的加强圈愈多，壳壁所需厚度就愈薄，是对的。但加强○

圈多到一定程度后，圆筒壁厚下降较少，并且考虑腐蚀、制造、安装、使用、维修等要求，圆筒需要必要的厚度，加强圈增加的费用比圆筒的费用减少要大，经济上不合理。

13. 有一圆筒，其内径为1000mm，厚度为10mm，长度为20m，材料为20R（σb=400MPa，σs=245MPa，E=2×105MPa，μ=0.3）。○1在承受周向外压力时，求其临界压力pcr。○2在承受内压力时，求其爆破压力pb，并比较其结果。 解：○1临界压力pcr

D0?1000?2?10?1020mmLcr?1.17D0属长短圆筒，其临界压力为

D0t?1.17?1020?102010

?12052.75mm?12m?20mpcr?t???2.2E??D??0?b

3?10?5?2.2?2?10???1020??3?0.415MPa

2承受内压力时，求其爆破压力p，（Faupel公式) ○

2?s???2?spb???b3??2?245?245?1020?lnK??2??ln?7.773MPa???40010003???

承受内压时的爆破压力远高于承受外压时的临界压力，高出18.747倍。

14. 题16中的圆筒，其长度改为2m，再进行上题中的○1、○2的计算，并与上题结果进行综合比较。 解：○1临界压力pcr，属短圆筒，其临界压力为

pcr?2.59EtLD02D0t?2.59?2?10?102000?1020?52102010?2.514MPa

2承受内压力时，求其爆破压力p，（Faupel公式) ○

b

2?s??s?pb??2??3?b1.

?2?245?245?1020?lnK??2??ln?7.773MPa???40010003???

承受内压时的爆破压力高于承受外压时的临界压力，高出3.092倍，但比长圆筒时的倍数小了很多。

一内压容器，设计（计算）压力为0.85MPa，设计温度为50℃；圆筒内径Di=1200mm，对接焊缝采用双面全熔透焊接接头，并进行局部无损检测；工作介质列毒性，非易燃，但对碳素钢、低合金钢有轻微腐蚀，腐蚀速率K≤0.1mm/a，设计寿命B=20年。试在Q2305-A·F、Q235-A、16MnR三种材料中选用两种作为圆筒材料，并分别计算圆筒厚度。

解：pc=1.85MPa，Di=1000mm，φ=0.85，C2=0.1×20=2mm；钢板为4.5~16mm时，Q235-A 的[σ]=113 MPa，查表4-2，C1=0.8mm；钢板为6~16mm时，16MnR的[σ]t= 170 MPa，查表4-2，C1=0.8mm。 材料为Q235-A时：

t

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