毕业设计-一阶倒立摆最优控制器的设计(6)

仿真后的根轨迹图如图3.7所示：

图3.7 校正后系统的根轨迹图

由图可知，选取增益k为500时，根轨迹都在左半平面，此时对应的系统是稳定的，可求出PID函数为：

500(s?3)2 （3.4） KD(s)?s(s?55)

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将根轨迹法设计的PID控制器代入原来系统后，可以得到校正后系统的Bode图如图3.8所示：

图3.8 校正后系统的Bode图

可知此时相频曲线正穿越?180?的线一次，即R=1，未校正系统有一个位于右半平面的极点，即P=1，所以闭环系统的不稳定极点数Z=P-R=0，也可知校正后的闭环系统是稳定的。

将式(3.4)代入原来系统中，在Simulink环境下作出系统的结构图如图3.9所示：

图3.9 系统模拟仿真图

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给系统加入一个阶跃扰动，通过示波器显示可得到系统输出波形如图3.10所示：

图3.10 加入阶跃扰动时输出的波形

由图可知，系统的调节时间ts?3.8s，超调量??1.8%，可知校正后的系统满足了设计指标。

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第四章 现代控制理论在控制倒立摆系统中的应用

4.1 状态空间极点配置法

4.1.1 理论分析 1.概述

由之前的分析得出，该倒立摆系统是一个单输入多输出的控制系统，需要设计一个对倒立摆本体和小车位移同时进行控制的控制器。

根据开环系统的特征方程可知未校正系统的开环极点为:2.9028、-2.7141、-0.0911。系统有一个极点2.9028位于S平面右半平面，根据系统稳定性条件知该系统是不稳定的。根据系统的状态空间方程和极点配置法，设计出状态反馈矩阵K以实现对系统的控制。

2.极点配置的原理说明

所谓极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置。由于系统的性能和它的极点位置密切相关，因而极点配置问题在系统设计中是很重要的。

要注意配置的条件：利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。

期望极点的配置主要是根据零极点对系统的影响来进行选取的，再根据设计者的经验（参考网上的资料）相结合进行选取的。

4.1.2 状态空间极点配置法的设计及仿真

首先对被控对象进行可控性、稳定性检查。 已知有：

10?0?0?0.0945?0.7178A???000??00.073177.89580????1? B????0???0.7317??

0?0?? 1??0?20

?1000?C????0010? D?0利用Matlab判断系统的可控性： 仿真程序如下： >> clear

>> A=[0 1 0 0;0 -0.0945 -0.7178 0;0 0 0 1;0 0.07317 7.8958 0]; >> B=[0;1;0;-0.7317]; >> s=[B,A*B,A^2*B,A^3*B]; >> rank(s) ans =4

可知系统是可控的。

由之前的分析可知倒立摆系统是一个不稳定的系统，系统有一个极点2.9028位于S平面右半平面，根据系统稳定性条件知该系统是不稳定的。采用状态反馈方法可使系统稳定并配置极点。状态反馈控制规律为：

u?v?kx，k??k0k1k2?反馈至v的增益）?,?,? k3?（其中k0~k3分别为x,x引入状态反馈后，系统的状态方程变为：

??(A?Bk)x?Bvx

y?Cx全状态反馈系统为稳定闭环系统，当参考输入v为零时，状态向量在初始扰动下的响应将渐进的衰减至零，这时摆杆和小车都会回到它的初始位置，即??0,x?0。 假设期望极点为p???2?3?2?1i?2?1i?，利用Matlab求出系统的反馈矩阵k。

仿真程序如下： >> clear

>> A=[0 1 0 0;0 -0.0945 -0.7178 0;0 0 0 1;0 0.07317 7.8958 0]; >> B=[0;1;0;-0.7317]; >> p=[-2 -3 -2+1i -2-1i]; >> k=place(A,B,p) k =

-4.0702 -6.7743 -58.8387 -21.4292

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