大学物理（第四版）课后习题及答案 - 静电场(3)

题7.18：如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且Q1 = Q2 = Q3。求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功。

题7.18分析：由库仑力的定义，根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q3

外力作功W?应等于电场力作功W的负值，即W???W。求电场力作功的方法有两种，（l）根据功的定义，电场力作的功为

W??Q2E?dl

0?其中E是点电荷Q1、Q3产生的合电场强度。（2）根据电场力作功与电势能差的关系，有

W?Q2(V0?V?)?Q2V0

其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势（取无穷远处为零电势）。 解1：由题意Q1所受的合力为零

Q1Q3Q2?Q1?0 24??0d4??0(2d)211解得Q2??Q3??Q

44由点电荷电场的叠加，Q1、Q3激发的电场在y轴上任

意一点的电场强度为

E?E1y?E3y?Qy

2??0(d2?y2)32将Q2从点O沿y轴移到无穷远处（沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？），外力所作的功为

W???Q2E?dl???0??0QyQ2?1?dy? ??Q??22328??0d?4?2??0(d?y)1解2：与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q2??Q。并由电势的叠加得Q1、Q3

4在点O电势

V0?Q14??0d?Q34??0d?Q2??0d

将Q2从点O推到无穷远处的过程中，外力作功 W???Q2V0?Q28??0d

比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁。这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多。

题7.19：已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为

?E?er

2??0r?为电荷线密度。（1）求在r = r1和r = r2两点间的电势差；（2）在点电荷的电场中，我们曾取r??处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明， 题7.19解：（1）由于电场力作功与路径无关，若取径矢为积分路径，则有

rr?ln2 U12???rE?dr?2??0r121 （2）不能。严格地讲，电场强度E??er只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电2??0r荷分布在无限空间。r??处的电势应与直线上的电势相等。

题7.20：如图所示，有一薄金属环，其内外半径分别为R1和R2，圆环均匀带电，电荷面密度为?（? > 0）。（1）计算通过环中心垂直于环面的轴线上一点的电势；（2）若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环，要使质子能穿过圆环，它的初速度至少应为多少？ 题7.20分析：（1）如图所示，将薄金属环分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用细环轴线上一点的电势公式，根据电势叠加原理 ，将这些不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势相加，即可得到轴线上的电势分布。

（2）由轴上电势分布的结果可知，在圆环中心处（x = 0）电势V有极大值，当质子从无穷远处射向圆环时，电势能逐渐增加，而质子的动能随之减少。若要使质子穿过圆环，则质子在圆环中心处Ek ? 0。根据能量守恒定律，可求出电子所需初速度的最小值。 解：（1）在环上割取半径为r、宽度为 dr的带电细回环，其所带电荷为

dq??dS??2?rdr

它在轴线上产生的电势为

dq?rdr dV??4??0(x2?r2)122?0(x2?r2)12 薄金属环的电势等于这些同心轴圆环电势的叠加

R2?rdr?2V???[R2?r2?R12?r2] 2212R12?(x?r)2?00 （2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能Ek?0，开始时质子的初速率应满足

12mv0?e(V0?V?)?0 2即v0?e?(R2?R1) ?0me?(R2?R1) ?0m上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于

题7.21：两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？

题7.21分析：通常可采用两种方法（1）由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势。取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由VP??PE?dl可求得电势分布。

（2）利用电势叠加原理求电势。一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为

Q V?

4??0r在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势

? V?Q4??0R

其中R是球面的半径。根据上述分析，利用电势在加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布。 解1：（l）由高斯定理可求得电场分布

E1?0r?R1Q14??0r2erR1?r?R2 r?R2 E2?E3??Q1?Q2er4??0r2由电势V??rE?dl可求得各区域的电势分布。当r?R1时，有 V1??R1rE1?dl??Q14??0R2R1E2?dl???R2E3?dl?11?Q1?Q2???RR???4??R2?02?1Q1Q2??4??0R14??0R2?0?

当R1?r?R2时，有 V2???R2rE2?dl???R2E3?dl?11?Q1?Q2??r?R???4??R

2?02?Q1Q2??4??0r4??0R2Q14??0当r?R2时，有 V3???rE3?dlQ1?Q2 ?r4??0R2（2）两个球面间的电势差

U12??R2R1E2?dl?Q14??0?11????RR??

2??1解2：（l）由各球面电势的叠加计算电势分布。若该点位于两个球面内，即r?R1，则

V1?Q14??0R1Q14??0r?Q24??0R2Q24??0R2

若该点位于两个球面之间，即R1?r?R2，则

V2??

若该点位于两个球面之外，即r?R2，则

V3?Q1?Q2r

4??0R2 （2）两个球面间的电势差

U12?V1?V2r?R2?Q14??0R1?Q14??0R2

题7.22：一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为?。现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线

分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称。选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理

?E?dS???01V?dV

可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义

Va?Vb??E2?dl

ab并取棒表面为零电势（Vb = 0），即可得空间任意点的电势

解：取高度为l、半径为r且与带电律同轴的回柱面为高斯面，由高斯定理 当r?R时 E?2?rl??r2l??0 得E(r)??r 2?0当r?R时E?2?rl??R2l??0 ?R2得E(r)?

2?0r取棒表面为零电势，空间电势的分布有

R?r?当r?R时，V(r)??dr?(R2?r2)

r2?4?00当r?R时，V(r)??rR?R2?R2Rdr?ln 2?0r2?0r图是电势V随空间位置r的分布曲线。

题7.23：两个很长的共轴圆柱面（R1 = 3.0?10?2 m，R2 = 0.10 m），带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 V。求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。

题7.23：两圆柱面之间的电场

? E?2??0r根据电势差的定义有

RR?U12??E?dl?ln2

R2??0R121解得??2??0U12lnE?R2?2.1?10?8C.m?1 R1?1?3.74?102V 2??0rr两圆柱面电场强度的大小与r成反比。

题7.24：在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109 V，被迁移的电荷约为 30 °C，如果释放出的能量都用来使0 °C的冰融化为0 °C的水，则可融化多少冰？（冰的融化热L =

3.34?105 J?kg?1）

题7.24：闪电中释放出的能量为冰所吸收，故可融化冰的质量 m??EqU??8.98?104kg LL即可融化约90吨冰。

题7.25：在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷面密度为?。A点的坐标为(0, R/2)，B点的坐标为(R/2, 0)，求电势差UAB。

题7.25分析：电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在Oxy平面上各点产生的电势显然就等于带电球面在该点的电势的一半。据此，可先求出一个完整球面在A、B间的电势差U?AB，再求出半球面时的电势差UAB。由于带电球面内等电势，球面内A点电势等于球表面的电势，故

11??(VR??VB?) UAB?UAB22?是带电球表面的电势，VB?是带电球面在B点的电势。 其中VR解：假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度? 的一个完整球面，此时在A、B两点的电势

分别为

Q?R??? VA??VR4??0R?0?R22?R??VB?? 4??0r?0r3?0QUAB则半球面在A、B两点的电势差 1?R??VB?)??(VR 26?0题7.26：已知水分子的电偶极矩p?6.17?10?30C?m。这个水分子在电场强度

E?1.0?105V?m?1的电场中所受力矩的最大值是多少？

题7.26解：在均匀电场中，电偶极子所受的力矩为M?p?E，故力矩的最大值为

Mm?pE?6.17?10?25N?m

题7.27：在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为0.53?10?10m的圆周绕原子核旋转。（1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功？（2）电子的电离能为多少？ 题7.27解：（1）电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为

e2 EP??

4??0r1因此，若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功

W??EP?e24??0r?27.2eV

（2）电子在玻尔轨道上运动时，静电力提供电子作圆周运动所需的向心力， 即e2(4??0r2)?mv2r。此时，电子的动能为

1e22 Ek?mv?

28??0r其总能量

E?Ek?EP??e28??0r

电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量 E0?E?13.6eV

由于电子围绕原子核高速旋转具有动能，使电子脱离原子核的束缚所需的电离能小于在

此过程中克服电场力所作的功。

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