大学物理（第四版）课后习题及答案 - 静电场(2)

y??1?22R Rsin??Rdθ???R???2?2R即正、负电荷中心分别在y轴上距中心 O为

?处

题7.10：设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。

题7.10分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即ΦS??E?dS。

S方法2：作半径为R的平面S?与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理

?E?dS?S1?0?q?0

这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S?的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量。因而

Φ??E?dS???SS?E?dS

解1：取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为

E?E(cos?e??sin?e??sin?er) dS?R2sin?d?d?er

Φ??E?dS??ER2sin?sin?d?d?SS??ER2sin2?d??sin?d?00??

??R2E解2：由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有

Φ??E?dS???SS?E?dS

依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向， Φ??E??R2?cos???R2E

题7.11：边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy、yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度E?(E1?kx)i?E2j的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。

题7.11解：参见图。由题意E与Oxy面平行，所以对任何与Oxy面平行的立方体表面。电场强度的通量为零。即ΦOABC?ΦDEFG?0。而

ΦABGF??E?dS??[(E1?kx)i?E2j]?[dSj]?E2a2

考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有

ΦCDEO??ΦABGF??E2a2

同理ΦAOEF??E?dS??[E1i?E2j]?(?dSi)??E1a2 ΦBCDG??E?dS??[(E1?ka)i?E2j]?(dSi)?(E1?ka)a2

因此，整个立方体表面的电场强度通量 Φ??Φ?ka3

题7.12：地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷。晴天大气电场平均电场强度约为120 V?m??，方向指向地面。试求地球表面单位面积所带的电荷（以每平方厘米的电子数表示）。

题7.11分析：考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷。

解：在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径R?RE（RE为地球平均半径）。由高斯定理

2?E?dS??E4?RE?S1?0?q

地球表面电荷面密度

2???q4?RE???0E??1.06?10?9C?m?2

单位面积额外电子数

n??(?e)?6.63?105cm?2

题7.13：设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为 ??kr0?r?R

??0r?Rk为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗?）

题7.13分析：通常有两种处理方法：（1）利用高斯定理求球内外的电场分布。由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有

?E?dS?E?4?rS2

1根据高斯定律?SE?dS??0??dV，可解得电场强度的分布

（2）利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布。将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为dq???4?r?2dr?，每个带电球壳在壳内激发的电场dE = 0，而在球壳外激发的电场

?dVdE?er

4??0r2由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布 E(r)??0dEr0?r?R

E(r)??dE0Rr?R

解1：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定律

?E?dS?S1?0??dV得球体内(0?r?R)

1 E(r)4?r2?kr2E(r)?er

4?0?0?r0kr4?r2dr??k4r ?0球体外（r＞R） E(r)?4?r2?kR4E(r)?er

4?0r21?0?R0kr4?r2dr??k4R ?0解2：将带电球分割成球壳，球壳带电 dq??dV?kr?4?r?2dr? 由上述分析，球体内(0?r?R)

kr??4?r?2dr?kr2E(r)??er?er

04??4?0r20r1球体外（r＞R）

E(r)??R0kr??4?r?2dr?kR4er?er

4??0r24?0r21题7.14：一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为?，在平板中部有一半径为r的小圆孔。

求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。 题7.14分析：用补偿法求解

利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布。

若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度?????）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。 解：在带电平面附近

?E1?en

2?0en为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场

E2????x?1?2?0?x2?r2???en ??它们的合电场强度为

?xE?E1?E2?en。

2?0x2?r2在圆孔中心处x = 0，则 E = 0

在距离圆孔较远时x>>r，则 E??1?en?en

2?01?r2x22?0上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。

题7.15：一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为?，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度。

题7.15分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴往面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，E?dS?0对电场强度通量贡献为零。整个高斯面的电场强度通量为

?E?dS?E?2?rL

由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度????R2，处于高斯面内的总电荷

?q????r2L

由高斯定理?E?dS??q?0可解得电场强度的分布， 解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得

1?2E?2?rL????r2L?rL

?0?0R2E??r

2??0R2题7.16：一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。

题7.16分析：以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而?E?dS?E?4?r2，在确定高斯面内的电荷?q后， 利用高斯定理

?E?dS??q?0

即可求的电场强度的分布

解：取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析 E?4?r2??q?0

r < R1，该高斯面内无电荷，?q?0，故 E1 = 0

Q1(r3?R13)R1 < r < R2，高斯面内电荷?q?，故 3R2?R13Q1(r3?R13) E2? 34??0(R2?R13)r2R2 < r < R3，高斯面内电荷为Q1，故

E3?Q14??0r2

r > R3，高斯面内电荷为Q1+ Q2，故

E4?Q1?Q2

4??0r2 电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图所示。

在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r = R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量

Q2??E?E4?E3??

4??0R3?0这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变。

题7.17：两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2 (R2 > R1)，单位长度上的电荷为?。求离轴线为r处的电场强度：（1）r < R1，（2）R1 < r < R2，（3）r > R2

题7.17分析：电荷分布在无限长同轴圆拄面上，电场强度也必定呈轴对称分布，沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且?E?dS?E?2?rL，求出不同半径高斯面内的电荷?q。利用高斯定理可解得各区域电场的分布。 解：作同轴圆柱面为高斯面。根据高斯定理

E?4?rL??q?0

r?R1，R1?r?R2，?q?0E1?0?q??LE2?? 2??0rr?R2，?q?0E3?0 在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变

??L? ?E? ??2??0r2??0rL?0

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