下面用数学归纳法证之。 A. 设n=2时若
0?a?1，x?0则(1?2xa)2?1?2?2xa?22xa2?2(1?22xa2)?2(1?22xa)，即(1)成立。
1?2x， 若a?1，x?0，因为
?(1?2x)2?1?2?2x?22x?2(1?22x)?当n?2时，(1)式成立
B. 设n?K时(K?2)，有不等式[1?2x???(K?1)x?Kxa]2?K[1?22x ＋?＋(k?1)2x?K2xa]，其中a?(1，1]，且x?0 则若0?a?1且x?0时
[(1?2x???Kx)?(K?1)xa]2?(1?2x???Kx)2?2(1?2x???Kx)(K?1)xa
＋(K?1)2xa2
?K(1?22x???K2x)?2(1?2x???Kx)(K?1)xa?(k?1)2xa2
?K(1?22x???K2x)?[2?1?(K?1)xa?2?2x(K?1)xa???2Kx(K?1)xa]?(K?1)2xa2 ?K(1?22x???K2x)?[1?(K?1)2xa2]?[22x?(K?1)2xa2???[K2x?(K?1)2xa2]?(K?1)2xa2?(K?1)[1?22x???K2x?(K?1)2xa2] ?(K?1)[1?22K???K2x?(K?1)2xa2]
即当n?K?1时，(1)也成立。
由A，B的证明可知对任意自然数n?2，都有(1)成立， 即2f(x)?f(2x)，a?(0，1]，x?0成立
??证法二：
1]，[1?2x???(n?1)x?nxa]2?n[1?22x???(n?1)2x?n2xa]，a?(0，只需证明n?2 时，x?0，
222?(a1?a2???an)2?(a1?a2???an)?2(a1a2?a1a3???an?1an) 22222222222?(a1?a2???an)?[(a1?a2)???(a1?an)]?[a2?a3)???(a2?an)]??
第 16 页 共 45 页
222222?[(an?2?an?1)?(an?2?an)]?(an?1?an) 222?n(a1?a2???an)
222?(a1?a2???an)2?n(a1?a2??an)
其中等号当且仅当a1?a2???an时成立。 ?当a?1，x?0时，因1?2x
?[1?2x???(n?1)x?nx]2?n[1?22x???(n?1)2x?n2x]
当0?a?1，x?0时，因a2?a
?[1?2x???(n?1)x?nxa]2?n[1?22x???(n?1)2x?n2xa2]?n[1?22x?? ?(n?1)2x?n2xa]
即2f(x)?f(2x)，a?(0，1]，x?0成立。
【例6】 如图，ΔABC是某屋顶的断面，CD⊥AB，横梁AB的长是竖梁CD长的2倍.设计时应使y?tgA?2tgB保持最小，试确定D点的位置，并求y的最小值.
解：设AD=x，CD=1， 则AB=2，BD=2–x，（0 DB∵x?2?8?42；当且仅当(x?2)2?8,x?22?2时取等号 x?2142?6?3?22 212∴当x?22?2时，y取得最小值?此时DB?2?(22?2)?4?22,AD:DB?22?24?22? 答：取AD:DB=1:2时，y有最小值 3?22 2第 17 页 共 45 页 【例7】 在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫做一次操作。 (I)设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn（每次注入的溶液都是p%）， 计算 1414b1，b2，b3，并归纳出bn的计算公式（不要求证明） (II)设p?q?r，且p?r?2(p?q)要使容器内溶液浓度不小于q%，问至少要进行上述操作多少次？（已知lg2?0.3010） a?rap??1004100?1(4r?1p) a10055a?4解：(I)b1?b2?a?b1?ap?4100?1[(4)2r?1p?4p] a1005552a?4ap?24100?1[(4)3r?1p?4p?4p] a100555253a?4b3?a?b2?14n144n?1?bn?[()r?p?2p???np] 1005555(II)bn?pr4n444()?[1??()2???()n?1] 100550055541?()npr4n5?p?1(4)n(p?r) ?()??4100550010010051?5pq14n 依题意有：?()(p?r)?10010051005?p?r?2(p?q)?上式化简得：()n?2 4?n?lg20.3010??3.103 ?至少要注入倒出4次。 1?3lg21?3?0.3010【例8】 某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数f(n)（万件）近似地满足下列关系： f(n)?1n(n?2)(18?n),n?1,2,3,?,12 90第 18 页 共 45 页 （Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？ （Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件） ??f?1?, n?1解：（Ⅰ）首先，第n个月的月需求量＝? ??f?n??f?n?1?, 2?n?12∵f(n)?1n(n?2)(18?n)， 90∴ f?1??17?1.3． 3090当n?2时，f(n?1)?1(n?1)(n?1)(19?n) ∴ f(n)?f(n?1)?1(?3n2?35n?19) 9014?n?7， 3令f(n)?f(n?1)?1.3，即?3n2?35n?19?117 ，解得：∵ n∈N， ∴n = 5 ，6 即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件． （Ⅱ）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需： na?f(n)?0， ∴ a?f(n)?(n?2)(18?n) n9010(n?2)?(18?n)?10 ∴ 又∵(n?2)(18?n)?1? a???9090?299??2即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销． 【例9】 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比． （Ⅰ）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？ l d a 第 19 页 共 45 页 ad2 解：（Ⅰ）由题可设安全负荷y1?k?2(k为正常数），则翻转90o后，安全负 lda2荷y2?k?2． l因为 y1d?，所以，当0?d?a时，y1?y2．安全负荷变大； y2a当0?a?d时，y1?y2，安全负荷变小． ?a?（2）如图，设截取的枕木宽为a，高为d，则???d2?R2，即a2?4d2?4R2． ?2?∵ 枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大 ∴ 2u?d2a2?d24R2?4d2?2d4?R2?d2? ?d2d222?++R?d22????dd2222?4???R?d??4??223???? ??43R3?9d2当且仅当?R2?d2， 2即取d? 【例10】 现有流量均为300m/s的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m和0.2kg/m．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100m的水量，即从A股流入B股100m水，经混合后，又从B股流入A股100m水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m（不考虑泥沙沉淀）？ 解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m”．但直接建构 3333 3 236，23时，u最大， 即安全负荷最大． Ra?2R2?d2?R3333这样的不等关系较为困难．为表达方便，我们分别用an,bn来表示河水在流经第n个观测 第 20 页 共 45 页 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库名师手拉手高三数学第二轮专题复习讲义与练习--不等式(4)在线全文阅读。
相关推荐：