福州四中高三数学第13-16课时三角问题的题型与方法(6)

??2sin??1，???11???????0，可见：?2sin?

?12???2?11??.?12????∵ ??，由2sin φ = 1得 ??，

2611???2??11?????11???2??由 sin????sin??k???0，得

6?1212?12?? ∴ ???k?Z?

12k?2 ?k?Z?． ，112?11?24由 ，得 ??． ?11?122410满足0???时，k = 1或k = 2．由此得到?1?，?2?2．分析到这里，只否定了B、D．为

111110选出正确答案，关键在于确定??及?2?2中哪个符合题意．为此，还要仔细地从图04中―挖掘‖出

11有用的―信息‖．

注意到

T11??11?1210，即?，因此??．这样就排除了??． ?BC?1111212?12?11??，0?，两点，能完全确定ω、φ的?12?根据以上分析知，应选C．

说明：因为函数y = A sin (ωx＋φ)是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、ω、φ的值．本题虽然给出了ω＞0，???2的条件，但是仅靠(0，1 )、?值．在确定ω的过程中，比较隐蔽的条件

T11?2?）起了重要作用． ??T（T??21212、分析：因为∠A，∠B，∠C顺序成等差数列，所以2B=∠A+∠C，

∠B=60°，∠A+∠C=120°． 对cos2A+cos2C用降幂变形，得

??3??13、分析与解：x???，?跨越了四个象限，如果角x真能落在各象限内，那么tan x值的符号就有

2??6

70

正有负．为便于求出tan x的值，不妨先―审查‖一下角x的实际范围． 根据正弦曲线和余弦曲线；当??x?3?1时，sin x＜0，cos x＜0，与sinx?cosx? 矛盾．可见，251矛盾．可 见角x的终5角x的终边不在第三象限．

当角x在第一象限时，sin x＞0，cos x＞0，这时有

sinx?cosx??sinx?cosx?2??2??1?2sinx?cosx?1，又与sinx?cosx?边不会位于?0，?．

如果????6?x?0．由余弦曲线知：

1?sinx?0， 23?cosx?1， 2由正弦曲线知：?这时

13?1??sinx?cosx?1， 52???可见 x???，0?．

6??223?，?1?cosx??，这时?x??，由正弦曲线及余弦曲线知0?sinx?2241?3??sinx?cosx?0?，可见x??，??．

5?4?1??3??根据以上分析可以看出：满足sinx?cosx?的角x??，?，根据正切曲线知

5?24?如果?tan x＜－1．

由 sinx?cosx?1，等式两端平方得： 5sin2x?cos2x?2sinx?cosx?1 25即：cosxtanx?2tanx?1?2?整理得：12 tan 2 x＋25 tan x＋12 = 0． 解之得：tanx??注意到 tan x＜－1 ∴ tanx??1， 25tan2x?2tanx?11?， 2251?tanx2?34或tanx?? ． 434． 3说明：有些三角函数的题目，为了考查学生对―某区间上任意值‖与―某区间上特殊值‖的区分能力，常把已知条件中的区间给―大‖．这时往往先要进行―缩小‖区间的工作．

14、解 （1）∵α+

???+－α= 442

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??－α)=cos(+α) 44????∴sin(+α)·sin(－α)=sin(+α)·cos(+α)

44441?11=sin(+2α)= cos2α= 2262221又∵π<2α<2π,cos2α=,∴sin2α= －

33∴sin(

∴sin4α=2sin2α·cos2α= －本题也可以这样解： sin(

42 92222??1111+α)·sin(－α)=（sinα+cosα）(cosα－sinα)= cos2α－sin2α=cos2α=

2222222644也可以用积化和差公式：

??1?11+α)·sin(－α)= (cos2α－cos)= cos2α=

226442?3?4（2）法一:由x+∈(π,2π)知sin(x+)= －

25442??????34∴cosx=cos(x+－)=cos(x+)·cos+sin(x+)·sin= 2－2= －

1044444410105?3由cosx<0可知，

4272,tanα=7 sinx= －102772?(?)?(?2)?2?(?2)228101010∴原式== －

1?7752sinxcosx(cosx?sin?)法二：原式=

cosx?sinx?sin2x?2sin(x?)4 =

?2cos(x?)4??=－cos(2x+)tan(x+)

24??=[1－2cos2(x+)]tan(x+)

44?3?428而cos(x+)=,tan(x+)= －，代入得：原式= －

375454??注 三角函数求值，重视与角的关系，如+x与－x互余（广义）,2α=α+β+α－β等。

44sin(

15、解：根据题意得图02，

其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，

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∠CAB=60?．

设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB中，由余弦定理得：

CD2?BD2?BC2212?202?3121cos?????，

2?CD?BD2?21?20743． sin??1?cos2??7sin??sin?180???CAD??CDA?

?sin?180??60??180???? ?sin???60???sin?cos60??cos?sin60??在△ACD中，由正弦定理得：

4311353． ????727214CD21532153?sin??????15． sinAsin60?141432此人还得走15千米到达A城．

说明：运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．

AD?

16、解：因为2b=a+c，由正弦定理得

17、分析：因为三棱锥的三条侧棱长均相等，因此顶点P在底面上的射影O是△ABC的外心，从而想到用正弦定理，再利用三角函数来求最值． 解：作PO⊥底面ABC，垂足为O．

由PA = PB = PC = 2a，知O为△ABC的外心． ∵ AB = AC = a ，

∴ O落在底面ABC的高AD上． 设∠ABC = θ，连结BO，

则BO为△ABC外接圆的半径．

a记BO = R，由正弦定理，有R? ，

2sin?

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22

116sin2??1PO?PB?BO?a 22sin?∵ BD = a cosθ，AD = a sin

1S?ABC?BC?AD?a2sin?cos?．

212116sin2??1V??asin?cos??a 232sin?1?a316sin2??11?sin2? 6????117?225??a3?16?sin2???? 63264??175∴当sin2??时，Vmax?a3．

321623a． 4在研究利用三角公式解决一些有关三角形中的三角函数问题时．常用的公式有：

A?B?C（1）在△ABC中，A + B + C = π，??，sin?A?B??sinC，

222A?BCA?BCcos?A?B???cosC，sin??cos，tan?cot ．

2222（2）正余弦定理及其变式：

如a = 2R sinA ，b2 + c2－a2 =2b c cosA ． 射影定理：a = b cosC + c cosB ． （3）三角形面积公式：

abc1 （其中P?(a?b?c)，r为三角形内切圆半径）． S??P?P?a??P?b??P?c??Pr?4R2

18、解：由已知条件得

?2R?2sin2A?sin2B?2RsinB2a?b．

此时，BC?2BD?2acos??2a1?sin2??????即有 a2?c2?2ab?b2，

a2?b2?c22又 cosC? ?2ab2122?∴ c? ．∴ S?absinC?ab??4R2sinAsinB

2444?22?222??R??cosA?B? ． ??R?cos?A?B??cos?A?B???222????2?12R． 2说明：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

所以当A = B时，Smax?

19、分析：本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。 解：（I）?a，b，c成等比数列 ?b?ac 又a?c?ac?bc ?b?c?a?bc

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222222

在?ABC中，由余弦定理得

cosA?b2?c2?a2bc12bc?2bc?2 ??A?60?

（II）在?ABC中，由正弦定理得sinB?bsinAa ?b2?ac，?A?60?， ?bsinBb2sin60?3c?ca?sin60??2。

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