?2?2??f()?4， ?4?a2?b2 ① ， 且 4?asin?bcos ②，
121212由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) f(x)?2sin2x?23cos2x?4sin(2x? ?4sin(2???)， ?f(?)?f(?)?0， 3??)?4sin(2??)， 33?????2???2k??2??， 或 2???2k????(2??)，
3333?即 ??k??? (?、? 共线，故舍去) ， 或 ????k??，
6?3?tan(???)?tan(k??)? (k?Z).
63说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。
例5、已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值。
∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinα·cosα+cos2α)
t2?1解法一：令sinα+cosα=t，则sinα·cosα=
2t2?1=t·(1－)=1，得：
23
t－3t+2=0?(t－1)2·(t+2)=0
t2?1∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinα·cosα==0。
2∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2 – 2sin2α·cos2α=1－2·0=1 66224224
sinα+cosα=(sinα+cosα)(sinα－sinα·cosα+cosα)=1 解法二：∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α ∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1
3??sin??sin?等号当且仅当?时成立， 3?cos??cos???sin??0?cos??0或? ??cos??1sin??1??∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1 说明：（1）凡是遇到sinx+cosx与sinx·cosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t，得
t2?1sinx·cosx=。
2（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。
－－
（3）本题还可推广到一般情形：若k≥2且sin2k1α+cos2k1α=1，则sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，则sinα=±1，cosα=0或sinα=0,cosα=±1。
例6、设f(x)=tanx,x∈(0,
??),若x1，x2∈(0,),且x1≠x2,证明： 22x?x21[ f(x1)+ f(x2)]>f(1)
22
60
证明:tanx1+ tanx2=
sinx1sinx2sinx1?cosx2?sinx2?cosx1+= cosx1cosx2cosx1?cosx22sin(x1?x2)?= ∵x1,x2∈（0，），且x1≠x2 cos(x1?x2)?cos(x1?x2)2∴2sin(x1+x2)>0,cosx1·cosx2>0,0
2sin(x1?x2)x?x2=2tan1
1?cos(x1?x2)2另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan以证明。
?sin?=加以证明的，也可以利用正切的和差角公式加21?cos?x?x21[tanx1+tanx2]－tan1
22x?x2x?x21= [tanx1－tan1+tanx2－tan1]
222x?x2x?x2x?x2x?x21=[tan(x1－1)·(1+tanx1·tan1)+tan(x2－1)·(1+tanx2·tan1)]
22222x?x2x?x2x?x21=tan1·(1+tanx1tan1－1－tanx2·tan1)
2222x?x2x?x2x?x2x?x21?=tan1tan1(tanx1－tanx2) ，∵1∈(0, ) ∴tan1>0
222222x?x2x?x2又∵tan1和tanx1－tanx2在x1>x2时，同为正，在x1 22左边－右边=tanx2）>0。 综上 x?x2x?x2x?x211tan1tan1·(tanx1－tanx2)>0，即[f(x1)+f(x2)]>f(1) 22222说明：在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把 两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。 例7、如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=3，设∠AOE=α. （1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α); （2）写出函数f(x)的取值范围。 解：（1）∵OE=1，EF=3 ∴∠EOF=60° 当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α) ∴f(α)=S△AOB= 1[tan(45°+α)－tanα] 22sin45?== 2cos?·cos(45??α)2cos(2α?45?)?231，OB= cos(45??α)cos?61 当a∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA= ∴f(?)=S△AOB=311OA·OB·sin45°=··sin45°=22cos?cos(45??α)62cos(?2α)?24? ???2cos(2α?综上得：f(α)= ???α?2cos(2?2??4 ??[0,)?2 ??()?2?12] 6??4,]124??（2）由（1）得：当α∈[0，f(α)= ?]时 121,3－1] 222cos(2α??∈[ 41?且当α=0时，f(α)min=；α=时，f(α)max=3－1； 212当α∈()?22cos(2α?)?243??且当α=时，f(α) min=6－3；当α=时，f(α) max= 28413所以f(x) ∈[,]。 22,]时,－≤2α－≤，f（α）=1241244?????6?∈[6－3, 3] 2说明：三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时注意三角函数的综合应用。 例8、 已知函数y= 312 cosx+sinx·cosx+1 （x∈R）, 22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y= 331211cosx+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1 224443151??5=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+ 44426641?5=sin(2x+)+ 264???=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。 626?所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z} 6所以y取最大值时，只需2x+ （2）将函数y=sinx依次进行如下变换： （i）把函数y=sinx的图像向左平移 ??，得到函数y=sin(x+)的图像； 66 62 1?倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； 2611?（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图 226（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的像； （iv）把得到的图像向上平移综上得到y= 51?5个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。 4264312 cosx+sinxcosx+1的图像。 2222说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=a?bsin (ωx+?)+k的形式，二 是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时， 1313cos2x?sinxcosx?tanx22y=2+1=2+1 222sinx?cosx1?tanx化简得：2(y－1)tan2x－3tanx+2y－3=0 ∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：∴ymax= 37≤y≤ 447?，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z} 46xxxcos?3cos2. 333 （Ⅰ）将f(x)写成Asin(?x??)的形式，并求其图象对称中心的横坐标； 例9、已知函数f(x)?sin （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 12x32x12x32x32x?3 f(x)?sin?(1?cos)?sin?cos??sin(?)?232323232332（Ⅱ）由已知b2=ac 2x?2x?3k?1?)=0即??k?(k?z)得x??333323k?1即对称中心的横坐标为?，k?z 2由sin(k?z a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1cosx????，2ac2ac2ac21??2x?5???cosx?1，0?x?，???233339??5???2x??|?|?|?|，?sin?sin(?)?1，32923333]. f(x)的值域为(3,1?2综上所述，x?(0, 即 ?3?sin(2x?3?)?1?，332?3] ， f(x)值域为(3,1?3] . 263 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数 值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。 2例10、设二次函数f(x)?x?bx?c(b,c?R)，已知不论?,?为何实数恒有 f(sin?)?0,f(2?cos?)?0. （1） 求证：b?c??1； （2） 求证：c?3； （3） 若函数f(sin?)的最大值为8，求b,c的值. (1) ?sin??[?1,1]， 2?co?s?[1,3]， 又?f(si?n)?0 ， f(2?co?s)?0 恒成立. ?f(1)?0 ， f(1)?0， 即 f(1)?0 恒成立. ?1?b?c?0， 即 b?c??1. （2）?f(3)?0， ?9?3b?c?0， ?9?3(?1?c)?c?0， ?c?3. （3）由题意可知： f(x)在[?1，1]上为减函数， ?8?f(?1)?1?b?c ①， ?b?c??1 ② ， 由 ① ，② 可得 b = ?4 ,c = 3 . 说明：赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到，利用函数的单调性往往能使问题得以顺利解决。 例11、已知函数y?13cos2x?sinxcosx?1(x?R) 22（1） 求函数y的最大值，并求此时x的值. （2） 该函数的图象可由y?sinx(x?R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1） y?131?5cos2x?sinxcosx?1?sin(2x?)?， 22264?7?当x?k??,k?Z时,ymax?； 64（2）将函数y?sinx的图象依次进行如下变换： ① 把函数y?sinx的图象向左平移 ??，得到函数y?sin(x?)的图象； 661倍（纵坐标不变），得到函数 2② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 y?sin(2x??6)的图象； 1倍（横坐标不变），得到函数 2③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 1?sin(2x?)的图象； 2651?5④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y?sin(2x?)+的图象； 4264132sinxcosx?1的图象. 综上得函数y?cosx?22y?说明：图象变换是否熟练、准确是解决三角函数问题的关键，要求学生要熟练掌握。 B 例12、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）. 1 m 解：如图，CD?2?1.2?0.8，设AD?x，则 C 2 m D 64 A 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库福州四中高三数学第13-16课时三角问题的题型与方法(3)在线全文阅读。
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