排队论及其应用

排队系统的符号表述

描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥

各符号的意义：

①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号： M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布； D——表示定长输入；

EK——表示K阶爱尔朗分布；

G——表示一般相互独立的随机分布。

②——表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。 ③——表示服务台(员)个数：“1”表示单个服务台，“s”(s>1)表示多个服务台。

④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，则，0

⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。 ⑥——表示服务规则，常用下列符号 FCFS：表示先到先服务的排队规则； LCFS：表示后到先服务的排队规则； PR：表示优先权服务的排队规则。 二、排队系统的主要数量指标

描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有： 1．队长和排队长(队列长)

队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。队长和排队长一般都是随机变量。

2．等待时间和逗留时间

从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。等待时间是个随机变量。从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。 3. 忙期和闲期

忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。与忙期相对的是闲期,即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。 4．数量指标的常用记号 (1)主要数量指标

L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数 的期望值；

Lq——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值；

W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值； Wq——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。

(2)其他常用数量指标

s——系统中并联服务台的数目； λ——平均到达率； 1／λ——平均到达间隔； μ——平均服务率； 1/μ——平均服务时间；

N――稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）； U――任一顾客在稳态系统中的逗留时间； Q――任一顾客在稳态系统中的等待时间；

Pn?P?N?n?:稳态系统任一时刻状态为n的概率；特别当n＝0时（系统中顾客数为0），P0即稳态系统所有服务台全部空闲的概率；

ρ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，—般有ρ=λ／(sμ)，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ趋近于0时，表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务台有大量的空闲时间；如服务强度ρ趋近于1，那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。我们一般都假定平均服务率μ大于平均到达率λ，即λ/μ<1,否则排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。 李特尔公式

在系统达到稳态时，假定平均到达率为常数λ，平均服务时间为常数1/μ，则有下面的李特尔公式：

L=λ W Lq=λ Wq

W= Wq +1/μ L= Lq +λ/μ

排队系统运行情况的分析

排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标： ①系统中顾客数(队长)的期望值L；

②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq；

③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W； ④顾客排队等待时间的期望值Wq。 第三节 M／M／1模型 模型的条件是：

1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；

2、排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；

3、服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布。

第四节 M / M / S 模型

? 此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台，各服务台的工作相互独立，服务

率相等，如果顾客到达时，S个服务台都忙着，则排成一队等待，先到先服务的单队模型。

? 整个系统的平均服务率为sμ，ρ*＝λ/sμ，（ρ*<1）为该系统的服务强度。

几个连续型分布—定长

? 定长分布（记为D）

若顾客到达间隔时间（或服务时间）为一常量a，此时称输入（服务）分布为定长分布，用T表示此时间，则 P(T=a) = 1

用分布函数表示有

F(t) = P(T?t) = 0 t

1 t?a

? 概率特征：方差为0 ? 主要应用：

? 周期性到达事件

? 定长服务系统（例如ATM网络）

几个连续型分布—负指数

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