多项式插值方法

第三章

教学目的及要求：

多项式插值方法

要求掌握基本的定理及各种插值方法。

插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.

插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明

设已知某个函数关系y?f?x?的列表函数值

xyx0y0x1y1??xnyn

而x?xi?i?0,1,?n?问应该如何估值y?f?x?.对于函数关系y?f?x?,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.

我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数??x?,使它在n+1个点x0,x1,?,xn处取给定值??xi??yi?f?xi?(i?0,1,?,n),而在别处希望它也能近似地代表函数f?x?.因为??x?已是有解析表达式的简单函数,所以它在x?x处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将??x?看成

y?f?x?.的近似值了

给定点x0,x1,?,xn为插值结点.称函数??x?为函数f?x?的关于x0,x1,?,xn的插值函数.称y?f?x?为被插函数.

严格的说,插值方法一词只用于x落在给定点x0,x1,?,xn之间的情形,所以也称它为内插法.如果x落在给定点x0,x1,?,xn之外,并且仍以插值函数??x?在x处近似地代替f?x?.,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.

本章我只研究多项式插值，亦即??x?是x的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数f?x?容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.

本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果

§1. Lagrange插值公式

设y?f?x?是实变量x得单值函数，且已知f?x?在给定的n+1个互异点

x0,x1,?,xn处的值y0,y1,?,yn,即

yi?f?xi?,i?0,?,n.

插值的基本问题是,寻求多项式p?x?,使得 p?xi??yi,i?0,?n.设p?x?是一个m次多项式

p?x??a0?a1x?a2x2???amxm,am?0

?1.1?

则插值问题是，如何确定p?x?中的系数a0,a1,?,am,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:

2m?a0?a1x0?a2x0???amx0?y0,?2m?a0?a1x1?a2x1???amx1?y1,????????????????2m??a0?a1xn?a2xn???amxn?yn,?1.2?

上述的线性方程组的系数矩阵为

?1x0?1x1A???????1xn?它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.

2x0????x12?2xnm?x0?x1m??? m?xn??当m>n时，A的列数大于行数.不难证明矩阵A的秩数为n+1.因为A的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde行列式)

111我们有

x0x12mx0?x0 W?x0,?.xn?1,xn?def

?????x12?x1m2mxn?xnxn W?x0,?.xn?1,xn????xj?xi?j?i?1.3?

为证(1.3),考虑n次多项式

11x0x1?x2x0??nx0 W?x0,?.xn?1,x???1x12?2xnx1n?

1xn?12nxn?x?1n?1?xn显然x0,x1,?,xn?1均为它的零点,且它的xn系数恰为W?x0,?.xn?1?即 W?x0,?.xn?1,x??W?x0,?.xn?1??x?x0???x?xn?1? 从而有下述递推关系式

W?x0,?.xn?1,xn???xn?x0???xn?xn?1?W?x0,?.xn?1?

运用它即可证明(1.3)式

根据(1.3),并注意到诸x0,x1,?,xn互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。

当m

a0,a1,?,am未必相同.

即此时(1.2)可能是矛盾方程组.

鉴于以上情形，看来取m=n是最为适宜的.现在我们重提多项式插值问题: 给定n+1个互异点x0,x1,?,xn,对任意一组数y0,y1,?,yn，是否存在唯一的

p?x??P?x?，使得如下插值条件被满足

p?xi??yi,i?0,?n.?1.4?

该问题的答案是肯定的 .今采用构造性方法把所要求的多项式p?x?求出来。 试设想,如果可求出具有如下性质的特殊的插值多项式li?x??Pn?i?0,?n?.

?0,li?x????1,j?i,j?0,?,nj?i?1.5?

则多项式 p?x???yili?x?i?0n(1.6)

必为满足(1.4)的多项式.但(1.5)中上面的等式,指出x0,?,xn中除xi外,均为li?x?的零点,因此li?x??c?x?x0???x?xi?1??x?xi?1???x?xn? 其中c为常数，但(1.5)中下面的等式指出

c?1.

?xi?x0???xi?xi?1??xi?xi?1???xi?xn?所以

li?x???x?x0???x?xi?1??x?xi?1???x?xn?.

?xi?x0???xi?xi?1??xi?xi?1???xi?xn?记w?x???x?x0???x?xn?，则li?x?又可表示为更简洁的形式

li?x??w?x? ?x?xi?w??x?总之n次多项式 p?x???yii?0nw?x??x?xi?w??x?(1.7)

满足插值条件（1.4）

若q?x??Pn也满足插值条件（1.4）,则??x??q?x??p?x??Pn必以x0,?,xn为零点,即??xi??0,i?0,?n.这样一来,n次多项式??x?竟然有n+1个不同的零点.是故q?x??p?x?.所以由(1.7)表示的n次多项式（严格地说，是次数不超过n的多项式）是Pn中满足插值条件的唯一多项式.它常常称作为Lagrange插值多项式,并记为

Ln?x???yii?0nw?x? ?x?xi?w??x?按前述推理可知Lagrange插值多项式Ln?x?也可视为是从下面的行列式方程中解出来的:

Ln?x?y0y1?yn1111xx0x1xnx2?xn2nx0?x0x12?x1n?02nxn?xn?1.9?

?????(请读者自行补证).由(1.9)式表示的公式便于推广到一般形式的插值问题由于篇幅所限,此处不能祥述.

由(1.1)所示的条件称为插值条件,点组x0,x1,?,xn称为插值结点.上面所得到

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