2014河科大离散数学考研真题试题

河南科技大学

2014年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准

考试科目代码： 652 考试科目名称： 离散数学

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)

在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。 1-5：A D B D C 6-10：C D B A B 11-15：A D A B B

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

1. ?P?Q或?Q?P 2. 1 3. P真值为1，Q的真值为0 4. (?P?S?R)?(?P??S?R)

5. R={<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,4>,<3,5>,<3,6>, <5,6>} 6. {?,{{?,2}},{{2}},{{?,2},{2}}} 7. {,,,,} ? IA 8. β，γ 9. 2(nt?1) 10. v?e?r?2

三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)

1．利用主析取范式，求公式?(P?Q)?Q?R的类型。(注：重言式、矛盾式或可满足式)

解：

?(P?Q)?Q?R??(?P?Q)?(Q?R)?(P??Q)?(Q?R)?P??Q?Q?R?F (6分)

它无成真赋值，所以为矛盾式。(2分)

2． 给定解释I： D={2，3}，L（x, y）为L( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L ( 2 , 3 ) = L (3 , 2 )=0，求在解释I下?y?xL(x,y)的真值。 解：

(2分) (2分)

?y?xL(x,y)??y(L(2,y)?L(3,y))?(L(2,2)?L(3,2))?(L(2,3)?L(3,3)) ?(1?0)?(0?1)?0?0?0

(2分) (2分)

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3．设G??Z12,??是模12的整数加群，求G的生成元和所有子群

解：(1) ?(12)?4，小于12且与12互质的数是1,5,7,11；所以，G的生成元是1,5,7,11 (2分) (2) 12的正因子有1,2,3,4,6,12，则Z12的子群有： 1 1121?0?{0} 1阶子群 (1分) ?6?{0,6} 2阶子群 (1分) ?4?{0,4,8} 3阶子群 (1分) ?3?{0,3,6,9} 4阶子群 (1分) ?2?{0,2,4,6,8,10} 6阶子群 (1分)

?1?{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} 12阶子群 (1分)

122 1 1123124 1 1

1261212 4．求下图的邻接矩阵和可达矩阵。

解：(1) 求邻接矩阵 (4分)

?0??1A(G)??1??0?0?0000??0110?0000??0100?0000??

0000??0??0100??1A3(G)??00000???0000??0?00000?? (1分) ?0000??0000?0000??0000?0000?? (1分)

(2) 求可达矩阵

?0??1A2(G)??0??1?0?A4(G)?O5?5 (1分)

所以可达矩阵

?0??1P?A?A2?A3?A4??1??1?0?0000??0110?0000??0100?0000?? (1分)

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5. 如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,?,v7及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小，并计算其总造价。

解：(1) 用Kruskal算法求产生的最优树。算法为：

w(v1,v7)?1w(v7,v2)?4w(v7,v3)?9w(v3,v4)?3w(v4,v5)?17w(v1,v6)?23结果如图：

选e1?v1v7选e2?v7v2选e3?v7v3选e?v3v4选e?v4v5选e?v1v6

(3分)

(3分)

(2) 树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。 (2分)

四、证明题 (本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1．设论域D={a , b , c}，求证：?xA(x)??xB(x)??x(A(x)?B(x))。 证明：

?xA(x)??xB(x)?(A(a)?A(b)?A(c)?(B(a)?B(b)?B(c)?(A(a)?B(a))?(A(a)?B(b))?(A(a)?B(c))?(A(b)?B(a))?(A(b)?B(b))?(A(b)?B(c))?(A(c)?B(a))?(A(c)?B(b))?(A(c)?B(c))?(A(a)?B(a))?(A(b)?B(b))?(A(c)?B(c)??x(A(x)?B(x))

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(3分) (3分) (3分)

(1分)

c?A,有?a,c??R且?c,b??R)} 2．设R是A上一个二元关系，S?{?a,b?|(a,b?A)?(对于某一个试证明：若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。

证明：

（1） S自反的 (3分)

?a?A，由R自反，?(?a,a??R)?(?a,a??R)，??a,a??S

（2） S对称的 (3分)

?a,b?A?a,b??S?(?a,c??R)?(?c,b??R)?((??ac,,ca????RR))???((??bc,cb????RR))??b,a??S（3） S传递的 (3分)

?S定义?R对称?R传递

?a,b,c?A?a,b??S??b,c??S?(?a,d??R)?(?d,b??R)?(?b,e??R)?(?e,c??R)?(?a,b??R)?(?b,c??R)??a,c??S

3. 设是一代数系统，*是R上二元运算，?a,b?R，a?b?a?b?a?b，则0是幺元且是独异点。 证明：

[幺] ?a?R ，0*a?0?a?0?a?a,a*0?a?0?a?0

即 0*a?a*0?a?0为幺元 (3分)

[乘] ?a,b?R，由于+，·在R封闭。所以a*b?a?b?a?b?R，即*在R上封闭。(3分) [半群] ?a,b,c?R

?R传递?S定义

由（1）、（2）、（3）得；S是等价关系。 (1分)

(a*b)*c?(a?b?a?b)*c?a?b?a?b?c?(a?b?a?b)?c?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?ca*(b*c)?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?c所以(a*b)*c?a*(b*c)因此 ，〈R，*〉是独异点。 (1分)

五、应用题(本大题共2小题，每小题15分，共30分)

1．假设英文字母a，e，h，n，p，r，w，y出现的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%，10%，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出happy new year的编码信息。

解： (1) 根据权数构造最优二叉树： (5分)

(3分)

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(2) 传输它们的最佳前缀码如上图所示， (5分) a—011；e—111；h—10；n—110；p—0101； r—000；w—0100；y—001

(3) happy new year的编码信息为： (5分)

10 011 0101 0101 001 110 111 0100 001 111 011 000

附：最优二叉树求解过程如下：

2．设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >}，请写出R的关系矩阵MR和关系图GR，并用矩阵运算求出R的传递闭包t (R)。

解：(1) R的关系矩阵MR

?0??1MR??0??0?

100001000??0?1??0?? (4分)

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(2) R的关系图GR

(4分)

(3) 用矩阵运算求R的传递闭包t (R)

??1010?M101??R2?M?0R?MR???0000???0000??? (1分) ??0101?M?M?1010??R3?MR2R???0000???0000??? (1分) ??1010?M?M?0101??R4?MR3R???0000???0000??? (1分) ??1111?M??1111???t(R)?MR?MR2?MR3?MR4?0001???0000??? (1分)

所以，t (R)={ , , < a , c> , , , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c , d > }

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分) (3