第六讲 离散时间跨时套利定价理论(4)

?)融资该消费计划，满足： ?,?个交易策略(??T(0)(S(0)?X(0))， ?(0)B(0)???(0)B(0)??T(0)(S(0)?X(0))?????)是一个可接受的消费计划，其初始成本小于零，未来消费???,?则(?恒为零，存在套利机会。如果上述不等式取小于符号，类似地可以证明存在套利机会。进一步可以得到，该消费计划的除息价格等于：

?(0)B(0)??T(0)(S(0)?X(0))?c(0)

也是定义好的，唯一决定的。

（2）一个消费计划的t期除息价格，是指t期需要多少消费品的成本来启动一个动态交易策略，以获得该消费计划t期之后的所有消费。消费计划c是由交易策略(?,?)融资的，则{c(s)|s?t?1,...,T}的价格可以刻画为：

?(t)B(t)??T(t)(S(t)?X(t))?c(t)??(t?1)B(t)??T(t?1)S(t)。

类似地，我们可以证明该价格是唯一的。证明完毕。

记该消费计划t期价格为：

Sc(t)??(t?1)B(t)??T(t?1)S(t)。 (6.2.23) 下面我们来证明消费计划具有鞅性质。

定理：如果价格系统(B,S)不存在套利机会，则上市的消费计划具有鞅性质。

证明：定义消费计划的贴现价格为：

?Sc(t)B(t)t?T。 (6.2.24) S(t)??0t?T?*c所以我们有：

*Sc(t)??(t?1)??T(t?1)S*(t)

??(t)??(t)(S(t)?X(t))?c(t)。 (6.2.25)

当价格系统(B,S)不存在套利机会时，存在一个等价鞅测度?，使得

*T***S?D*j*j是一个鞅。下面我们来证明

S(t)??c*(s)也是一个鞅。

*cs?0t 16

由

?ct?0T*(t)??(0)??T(0)(S*(0)?X*(0)) ???T(s)(S*(s)?S*(s?1)?X*(s))，

s?1T得：

*Sc(t)??(t?1)??T(t?1)S*(t)

??(0)??T(0)(S*(0)?X*(0))???(s)(S(s)?S(s?1)?X(s))??c*(s)。

T***s?1tts?0s?t?1?c?T*(s)??(t?1)??T(t?1)S*(t)Ts?t?1??T(s)(S*(s)?D*(s)?S*(s?1)?D*(s?1))。

所以我们有：

E[?c*(s)|Ft]??(t?1)??T(t?1)S*(t)*s?t?1TT

?E[?E*[?T(s)(S*(s)?D*(s)?S*(s?1)?D*(s?1))|Fs?1]|Ft]*s?t?1??(t?1)??T(t?1)S*(t)

*?Sc(t)。

上式蕴涵，一个消费计划的t期贴现价格等于未来消费贴现和关于鞅测度?的预期。由此我们可以进一步得到： S(t)?所以有：

*c*?cs?0st*(s)?E[?c*(s)|Ft]， ?t。 (6.2.26)

*s?0TE[S(s)??c(v)|Ft]?E[E[?c*(v)|Fs]|Ft]

**c***vv?0*T ?E[*?cv?0T(v)|Ft]

17

?S(t)?*c*c?c(s)。

*s?0t因此?S(t)?

?c(s)在?*s?0t*下是一个鞅。定理证明完毕。

利用消费计划的等价鞅性质，我们可以给消费计划定价。下面我们给出一个例子来加以说明。

例6.2.2：考虑一个如图6.8的消费计划，假定价格系统由图6.6所示。试计算该消费计划的价格。

（图6.8）：一个上市的消费计划。

因为价格系统中不存在套利机会，所以该消费计划具有鞅性质，该消费计划的t期贴现价格等于未来消费贴现和关于鞅测度?的预期。所以我们有：

*1111113*Sc(0)?()0?()1?()2?()2?()2?()2?，

6664882 18

111*Sc((?1,?2,?3),1)?()0?()1?()2?1，

333111*Sc((?4,?5,?6),1)?()2?()2?()2?2。

244考虑到B(0)=1/4，B(1)=1/2，所以该消费计划在时间t=0和t=1时的价格为： Sc(0)?3/8，Sc((?1,?2,?3),1)?1/2，Sc((?4,?5,?6),1)?1。

6.3 Black-Scholes公式的推导（二叉树方法）

一、

模型的建立：

考虑一个具有两个长生命证券的多周期证券市场经济，一个是普通股票，一个是无风险债券。假定该经济持续很长时间，我们仅考虑交易日t=0、1、2、…、T。假定该经济满足如下假定：

1、 不考虑标的资产的红利收益，假定资产的波动性相同且已知，资产

价格满足一个二项随机游动，如图6.9所示。S(0)?0；

?uS(0)，u?d；…。 S(1)??dS(0)?

(图6.9)：二项随机游动和等价鞅测度。

2、 假定在期权生命中短期无风险利率R已知，个体可以以一个相同的

无风险利率进行借贷，假定无风险资产不支付红利，t期价格为R。 3、 不考虑交易成本和税收，允许证券卖空，在期权成熟前不考虑有价

19

t

证券的转让等事件。

4、 假定个体拥有的信息结构由股票价格生成。F0?{?}；F1有两个

事件；F2有三个事件，…；任意的at?Ft有两个子集at?1?at，

at?1?Ft?1。假定个体可能有不同的主观概率，但每一事件上的主

观概率都大于零。

二、 等价鞅测度的求解

在图6.9所示的价格系统中，任意的at?Ft有两个子集at?1?at，

at?1?Ft?1，根据前面的假定，我们在求解等价鞅测度时，只需在一个节点

上求出即可。

因为B(t)?Rt，所以我们首先对价格系统进行贴现调整： S*(t)?S(t)R?t， B*(t)?1， (6.3.1) 如果经济中不存在套利机会，则价格加上红利和构成的随机过程是一个鞅。考虑到此处不考虑标的资产的红利收益，因此我们有：

E*[S*(t?1)|Ft]?S*(t)，?t?T。 (6.3.2)

将具体价格代入上式，假定等价鞅测度为(?,1??)，则我们有： ?uR?1?(1??)dR?1?1， 由此可得： ??R?d。 (6.3.3) u?d??(0,1)，当d?R?u时，因此经济中确实存在一个等价鞅测度，相应地，

该价格系统不存在套利机会。

三、

Black-Scholes公式的推导

下面我们利用风险资产的二叉树结构，来推导出一个标的在普通股票上、操作价格为K、成熟期为T的欧式看涨期权的价格。在图6.9的二叉树中，从第0期出发，T期股票价格为S(0)udnT?n?T?nT?n的概率为??n???(1??)；

??nT?n?t从t期出发，T期股票价格达到S(t)ud的条件概率为

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?T?t?nT?n?t??。 ?(1??)?n???考虑到该欧式看涨期权在T期的回报为：max[S(T)?K,0]， 因此t期该看涨期权的贴现价格为：

p*(t)?E*[max(S(T)?K,0)R?T|Ft]， 所以t期该看涨期权的价格可以表示为：

p(S(t),t,K)?RtE*[max(S(T)?K,0)R?T|Ft]

?R?(T?t)?T?t?nT?t?nnT?t?n???(1??)max[S(t)ud?K,0]，(6.3.4) ??n?n?0??T?t记j为满足S(t)ujdT?t?j?K的正整数，则：

j?[ln从而p(S(t),t,K)?RT?tK]/[lnu/d]。

S(t)dT?t?(T?t)?T?t?nT?t?nnT?t?n???(1??)(S(t)ud?K) ??n?n?j??T?t?T?t??un(1??)dT?t?n ?S(t)???n??(R)(R)n?j???KR记?(j;T?t,?)??(T?t)?T?t?nT?t?n? ??n???(1??)n?j??T?t?T?t?nT?t?n??，则 ?(1??)??n?n?0??T?tp(S(t),t,K)?S(t)?(j;T?t,?u/R)?KR?(T?t)?(j;T?t,?)。 (6.3.5)

该公式由Cox、Ross和Rubinstein(1979)给出。

当独立时间数趋向于无穷时，即在区间T-t中将时间间隔分得足够小，则二项分布趋向于正态分布，从而上式可以改写为标准的Black-Scholes公式：

p(S(t),t,K)?S(t)N(xt)?Ke?r(T?t)N(xt??T?t), (6.3.6)

其中xt?ln(S(t)/Ke?r(T?t))?T?t，r和?为无风险资产的连续复?12?T?t利和风险资产的标准差。

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