第六讲 离散时间跨时套利定价理论

第六讲 离散时间跨期套利定价理论

6.1 介绍

本讲主要讨论离散时间多期衍生证券定价问题，衍生证券的价格通常并不采用均衡定价方法，而是采用套利定价方法。

Harris&Kreps(1979)等发现，如果一个价格系统不存在套利机会，那么该系统存在一个等价鞅测度，利用鞅测度，我们可以非常方便地定价各种衍生产品的价格。

下面我们通过两个简单例子，来说明等价鞅的存在及期权定价。 例1：考虑一个两期模型，假定第一期标的资产价格为S=35，期权的执行价格为X=35，连续复利无风险利率为9.531%，因此R?er(T?t)?1.1，成

熟期为一期。假定资产价格或者上升25%，或者下跌25%，即上升后价格为Su=43.75，下降后价格为Sd=26.25，其资产价格变化如下图6.1所示。由此一个看涨期权的回报如图6.2所示。

（图6.1）：一期资产价格树

（图6.2）：一期看涨期权树

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下面我们来构筑一个投资组合，利用期权来对该风险资产进行完全的套期保值，从而使得该组合成为一个无风险资产。假定我们出售H份标的在该资产上的看涨期权，使得该组合不存在风险，则其第一期成本为S-Hc，完全套期保值后的回报都是26.25，其回报过程可以用图6.3来刻画。 1、 出售的期权份额H：

因为完全套期保值后成熟时的回报相同，因此我们有：

Su?Hcu?Sd?Hcd?26.25，

因此我们可以求解出H： H?Su?Sd；

cu?cd将相关数值代入，得H=2。

（图6.3）：一期的无风险投资组合树

2、 无套利机会时的期权价格：

因为无套利机会存在，无风险组合的回报率应该等于无风险资产上的回报率，因此我们有：

R(S?Hc)?Su?Hcu

整理得： c?S(R?u)?HcuR?du?R?[cu?cd]/R；

HRu?du?d此即欧式看涨期权价格，欧式看跌期权的价格可以根据看涨-看跌平价关系得到。

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3、 等价鞅测度：

事实上我们可以将上式改写为： c??cuR?1?(1??)cdR?1， 其中??R?d相当于一个概率，称为一个等价鞅测度。在该测度下，期权u?d价格等于未来受益的期望贴现，与个体偏好等因素无关。

注：该测度仅是一个假想的测度，并不真正反映上升和下降出现的概率。

（图6.4）：资产价格和期权收益树

例6.1.2：考虑一个四期的期权定价例子。假定标的资产的价格S=35，期权的执行价格X=35，成熟期为一年。连续复利无风险利率为9.525%，因此

R?er(T?t)?1.09993；如果将一年分为四季，则R?er(T?t)?e0.09525?0.25?1.024098。假定资产价格变化如下图6.4所示。

则u=1.10517，d=0.904837，R=1.024098，??0.59512。由此我们可以求解各种欧式期权和美式期权的价格。

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(1) 在第0期开始时发行的、成熟期为4、执行价格为35的欧式看涨期权价格，则个体只能在第4期执行该期权，其价格可以表示为：

?4?4?4?3434???c?[??(Su?X)??(1??)(Sud?X)]/(1?r)?4.37 ?0??1?????(2) 计算在第一期当资产价格为38.68时发行的、第三期成熟的、操作价格为40的欧式看涨期权价格：

?2?222 c?[??0???(38.68?u?X)](1?r)

??以此类推。

6.2 无套利机会与等价鞅测度

一、

模型的建立

考虑一个多期证券市场经济，t=0,1,…,T。假定在该经济中存在I位个体，

i?1,2,...,I。为简化讨论，假定经济中只有一种易腐烂的消费品，并将这

种消费品作为计价单位，因此消费品的现货价格为1。

信息结构：

假定经济中有有限个自然状态，它们构成一个状态空间?。假定经济中的信息是逐渐展示出来的，到T期个体才能知道真正的自然状态是?中的哪一个。我们可以用一个事件树来刻画信息结构。

图6.5描述了五个自然状态、三个交易日的信息结构。在t=0时，个体仅知道真实的自然状态在{?1,...,?5}中。t=1时，部分信息被披露出来，或者事件发生，或者事件{?4,?5}发生；当事件{?1,?2,?3}发生时，个体知道真实的自然状态只能是?1、?2或?3；当事件{?4,?5}发生时，个体知道真实的自然状态只能是?4或?5。t=2时，信息完全展示出来，个体就知道具体哪个自然状态发生了。

定义：一个事件是?的一个子集。称两个事件不相交，如果这两个事件的交集是空集，即一个自然状态如果属于一个事件，它就不属于另一个事件。

定义：?的一个分割是一组事件的集合{A1,A2,...,A3}，如果这些事

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件彼此不相交，且它们的并等于?。称一个给定分割要比另一个分割更精细，如果后一个分割的任一事件都是前一分割中事件的并。

(图6.5)：信息结构。

我们可以用??{Ft;t?0,1,...,T}来记个体被赋予的公共信息结构，其中每一个Ft都是?的一个分割，满足：如果t?s，则Ft比Fs更精细；

F0?{?}，FT?{?|???}。

定义：一个随机过程是一个由时间t标识的随机变量序列。

定义：称一个随机过程S?{S(t)|t?0,1,...}关于?适应(adapted to

?)，如果对于任意的t，S(t)关于Ft可测。

定义：称一个随机过程S关于?可料的(predictable to ?)，如果对于任意的t，S(t)关于Ft?1可测。

资产结构：

定义：一个时间事件或有权益(time-event contingent claim)是一种证券，在交易日t?1、事件at?Ft发生时支付一单位消费品，在其它时间和情形下没有支付。

定义：一个复杂证券是由时间0消费品和一族时间事件或有权益构成

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