2
构造函数：f x x 2x x 1 1，则有an 1 f an ，
2
可以验证：当0 x 1时，f x 单调递增，且0 f x 1，
对于数列 an 而言，若0 a1 1，则完全归纳法可得：0 a2 1，……0 an 1， 又由an 1 an2 2an an 1 an an an an an 1 0（∵0 an 1）
2
所以，an an 1，
所以，对于数列 an 而言，必有：0 an an 1 1，得证．
2
（2）由an 1 an 2an 1 an 1 an 1 1 an （0 an 1），
22
两边取对数得：lg 1 an 1 lg 1 an 2lg 1 an
2
lg 1 an 1
2，
lg1 an
数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式
若bn lg 1 an b1 lg 1 a1 1，所以bn 2n 1， 所以，数列
1 1
是无穷递缩等比数列，从而S 2． n
b n 1 2
（3）（放缩法）∵an 13 an 12an an3 an 12 an 1 an an3 an3 1（an 1 an an 1 an 0）
而an3 an2a1 a13 a12 a1 an an3 an3 1（a1 an a1 an 0）
3332222
所以，由累加法可得：2a1 a2 an a1a2 a2a3 an 1an ana1 n，
即得证．
6*．〖证法一〗：
ai
i 1
n
111111611
1 212 223 234 24n 2n244 24n 2n
∵
1111111 111
45n45n2n 3 4 25 2n 23 23 23 224 222
n
1
1 24 1
n 3 2
1
24
∴
ci
i 1
n
17
．故得证 24
111111611
1234n4n
1 22 23 24 2n 2244 2n 2
n
2
〖证法二〗：
ci
i 1
∵当n 4时，2 n（可证）…………………………………（这一点是本题的亮点） ∴
1111 11
n3
n 2n(n 1)n(n 1)2 (n 1)nn(n 1)
1111 111111
45n
4 25 2n 22 3 44 54 55 6(n 1)nn(n 1)
n
∴
1 11 1
2 3 4n(n 1) 24
∴
ai
i 1
17
．故得证． 24
值得注意的一点：
该题有个别同学用反证法证明：假设f(n) ai
i 1n
17
，因为f(n)显然是递增的，即f(n) f(2)，于24
数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式
是举出一个反例f(2)
1117
说明这种假设是不成立的，于是命题得证． 2
2241 2
这种思路是错误的，错因是没有认清“全称命题”与“特称命题”的概念。
nn
171717
n0 N*，命题：，意即：对 n N*，都有 ai 成立．该命题的否定是：使得 ai ．
ai 242424i 1i 1i 1
n
然要证明该命题不成立，不能仅仅因为存在一个2 N*，使得f(2)
所以这种证明思路是错误的．
1117
而说明假设错误．
1 22224
7*．〖解及证〗：（1）、（2）略，以下对弟（3）问给出不同的证明方法
证法一：（放缩法）由（2）可得f(n) n 1，即lnn n 1 ∴
lnnn 1n 11
n2n2n2 1n 1
ln2ln3lnn111 ， 22223n34n 1
bb m
（a b 0，m 0）可得 aa m
∴
又由“糖水不等式”：
ln2ln3lnn111(n 2) (n 1) 2 1(n 2)n2n2 n 1
2 2 ， 223n34n 1n 12(n 1)4(n 1)
即得证．
lnn2n2 11
1 证法二：（放缩法）由lnx x 1 lnn n 1 2 ，
nn2n2
2
2
即
lnn1 1 ln2ln3lnn1 111
，∴ 1 (n 1) ( ) 22 222222 n2 n 23n2 23n
2n2 n 11 111
(n 1) ( )
2 1 22 3(n 1)n 4(n 1)
lnxlnx
f(x) x [2, )，可证当时，是单调递减的．
x2x2
证法三：（放缩法）令f(x)
∴f(x) f(2)，即
lnnln21ln2ln3lnn111n 1 ，∴一方面 ＝222n222423n4 4 44
(n 1)个
数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式
2n2 n 1(2n 1)(n 1)(n 1)(n 1)n 1
另一方面
4(n 1)4(n 1)4(n 1)4
故命题得证．
证法三：（数学归纳法）（略） 8．（1）因为x 1，y 1，所以，
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