b 2 2
252（当且仅当a b 1
2
时，取等号）． 证法二：（分析法）
bb m
A
数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式
a 2 B 2
22
2525 a2 b2 4(a b) 8 22
b 1 a
2，因为显然成立，所以原不等式成立． 25122
a (1 a) 4 8 (a ) 0 22
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件． 证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）． 证法四：（反证法）假设(a 2) (b 2)
2
2
2
252522
，则a b 4(a b) 8 ． 22
2
由a b 1，得b 1 a，于是有a (1 a) 12
25
． 2
121
所以(a ) 0，这与 a 0矛盾．
22
所以 a 2 b 2
2
2
2
25
． 2
2
证法五：（放缩法）∵a b 1，
∴左边＝ a 2 b 2
2
2
a 2 b 2 1225
2 a b 4 ＝右边． 222
2
2
2
a b
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a b 1这个特点，选用基本不等式a b 2 ． 2
证法六：（均值换元法）∵a b 1，所以可设a
2
2
11
t，b t， 22
2
∴左边＝ a 2 b 2 ( t 2) ( t 2)
2
1
212
2525 5 5
t t 2t2 ＝右边．当且仅当t=0时，等号成立．
22 2 2
点评：形如a b 1结构式的条件，一般可以采用均值换元． 证法七：（判别式法）
222
设y a 2 b 2 ，由a b 1，有y (a 2) (3 a) 2a 2a 13，
2
2
22
所以2a 2a 13 y 0，
因为a R，所以 4 4 2 (13 y) 0，即y
2
252522
．故 a 2 b 2 ． 22
数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式
不等式证明练习
1．设实数x，y满足y x2 0，0 a 1．求证：logaa a2．设m等于a，b和1中最大的一个，当x m时，求证：
2
2
xy
log
12 ． a
8
ab
2 2． xx
1 1 25
3．已知a,b R ，a b 1，求证： a b ．
ab2
1 1 1 100
推广：已知a,b,c R，a b c 1，求证： a b c ．
a b c 3
4*．已知函数f(x) x sinx，数列{an}中，0 a1 1，而an 1 f an ，求证：0 an 1 an 1． 5*．已知数列 an 满足an 1 an2 2an（n N*），且0 a1 1． （1）求证：0 an an 1 1； （2）若bn lg 1 an ，且a1
2
2
2
1 9
，求无穷数列 所有项的和； 10 bn
3332222
（3）对于n N*，且n 2，求证：2a1 a2 an a1a2 a2a3 an 1an ana1 n．
n
117
n N*6*．已知数列{an}的通项公式为an ，（），求证：． a i
n 2n24i 1
7*．设g(x) px
p
2f(x)，其中f(x) lnx． x
（1）若g(x)在其定义域内为增函数，求p的取值范围； （2）证明：f(x) x 1；
ln2ln3lnn2n2 n 1*
（3）证明：2 2 2 （n N,n 2）．
23n4(n 1)
8．（2011·安徽理）
（1）设x 1，y 1，证明：x y
111
xy； xyxy
（2）设1 a b c，证明：logab logbc logca logba logcb logac．
数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式
答案与提示
1．证明：（分析法）要证loga(a a) loga2
x
y
1
8
x
y
1
， 0 a 1， 8
x y2
只要证：a a
2a，又 a a 2a
xy
，
只需证：a
即证x x
2
x y
a．∴只需证x y
14
1， 4
1
0，此式显然成立． 4
∴原不等式成立．
2．分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于a，b和1中最大的一个”翻译为符号语言
“m a，m b，m 1”，从而知x m a． 证明：（综合法） x m a，x m b,x m 1，
a1.bxxabab
2 2 2 2 2． xxxxxxxx
22222
3．证明：∵a b 1∴1=(a b) a b 2ab 2(a b)∴a b
2
2
2
1
2
又∵
111212
(a b)( ) 2222abab∴(a ) (b ) (a b) 4 (
1a
2
1b
222
11125 ) 4 8 ． a2b222
说明：用同样的思路可以推证关于三个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值问题： 推广：证明：∵a b c 1，∴1=(a b c) a b c 2ab 2bc 2ca 3(a b c)，
∴a b c
2
2
2
2222222
1
，
3
又∵
11111212 (a b c)( ) 27， 222222abcabc1a
2
∴(a ) (b ) (c ) (a b c) 6 (∴(a ) (b ) (c )
1b
2
1c
2222
1111100 ) 6 27 ， a2b2c233
1
a
2
1b
2
1c
2
100
． 3
猜想：关于n个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值如何？
数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式
4*．证明：（完全归纳法） （1）先证明0 an 1
因为f'(x) 1 cosx，而 1 cosx 1，所以f'(x) 0恒成立， 从而函数f(x) x sinx在R上为增函数，
所以，当0 x 1时，f(x) x sinx当然也为增函数， 所以0 f(0) f(x) f(1) 1 sin1 1，
即对于函数f(x) x sinx而言，当0 x 1时，必有0 f(x) 1成立 由题设知，数列{an}中，0 a1 1，而an 1 f(an)，
所以0 a2 1 0 a3 1 0 an 1，当然0 an 1 1（穷举法）
说明：归纳法分为完全归纳法与不完全归纳法，完全归纳法即将所要证明的对象全部证明，而不完全归
纳法则需要数学归纳法配合证明．此题的证明过程实际上是一种完全归纳法，由函数的性质穷举而完成． （2）再证an 1 an
由an 1 f(an) an sinan an 1 an sinan，
而由（1）知0 an 1，所以0 sinan 1 1 sinan 0， 从而an 1 an 0 an 1 an 综上，得证0 an 1 an 1． 5*．证明：（1）（构造法）
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