非线性方程和常微分方程的解法(2)

0.2900 0.3400 0.3900 0.4400 0.4900 0.5000

>> y'

ans =

Columns 1 through 7

1.0000 0.9247 0.8434 0.7754 0.7199 0.6764 0.6440

Columns 8 through 12

0.6222 0.6105 0.6084 0.6154 0.6179

【例１．７７】求解描述振荡器的经典的Ver der Pol 微分方程

d2y2dy'2

dt2 (1 y)dt y 0,y(0) 1,y(0) 0.

分析：令

非线性方程和常微分方程的解法

x1 y,x2 dy/dt, 7,则：

dx1/dt x2

dx2/dt 7(1 x1^2)x2 x1

编写函数文件vdp,m:

function fy=vdp(t,x)

fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];

再在命令窗口中执行：

>> Y0=[1;0];

>> [t,x]=ode45('vdp',[0,40],Y0);

>> y=x(:,1);dy=x(:,2);

>> plot(t,y,t,dy)

图形结果如图１.１５所示

.

图１.１５ 例１.７７图形结果

４．常微分方程的符号解

格式：r=dsolve('eq1,eq2, ','cond1,cond2, ','v').

说明：①对给定的常微分方程（组）eq1,eq2, 中指定的符号自变量v，与给定的边界条件

和初始条件cond1,cond2, 求符号解（解析解）r

②若没有指定变量v,则缺省变量为t;在微分方程（组）的表达式eq中，

非线性方程和常微分方程的解法

yd2y大写字母D表示对自变量（设为x）的微分算子:Dy /dx,D2y ,……微分算子2 xdx

y1 0 y0 y1' f1 t,y ' ft,yy0 2 y1 y2 2

' ,y . . 变量，即待求解的D后面的字母则表示为因y . .0 . . . . n-1 yn' ft,yy0y n n

未知函数；

初始和边界条件由字符串表示:y a b,Dy c d,D2y(e) f,等等，分别表示y x x a b y' x x c d y'' x x e f;

若边界条件少于方程组的阶数，则返回的结果r中会出现任意的常数若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的sym对象，这时，用户可以用命令ode23或ode45求方程组的数值解

例1.78

>>D1=dsolve(‘D2y=Dy+exp(x)’)

>> D2=dsolve(‘(Dy)^2+y^2=1’,’s’)

>>D3=dsolve (Dy=a*y’,’y(0)=b’)%带一个初始条件

>> D4=dsolve(‘D2y=-a^2*y’,’y(0)=1’,’Dy(pi/a)=0’) %带两个初始条件

>>[x,y]=dsolve(‘Dy=y’,’Dy=-x’) %求解线性微分方程组

计算结果为:

D1=

-exp(x)*t+c1+c2*exp(t)

D2=

非线性方程和常微分方程的解法

[ -1]

[ 1]

[ sin(s-c1)]

[-sin(s-c1)]

D3=

b*exp(a*t)

D4

cos(a*t)

x=

cos(t)*c1+sin(t)*c2

y=

-sin(t)*c1+cos(t)*c2

三 练习和思考

求解方程3x e 0

求解方程3x lnx 0

求解方程5x sin2x 0

求解微分方程y y 2y 5,y 0 1,y 0 2. ''''222x求解微分方程的特解，并作出解函数曲线图。

y'' 2 1 y2 y' y 0,0 x 30,y 0 1,y' 0 0

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