非线性方程和常微分方程的解法
实验8 非线性方程和常微分方程的解法
一、实验目的
学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。
二、实验内容与要求
1. 非线性方程的整值解
（1）最小二乘法
格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。
[例1.72] 求方程x e 0的解。
>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);
>>xl=fsolve(fc,0)
xl=
0.5671
问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？
先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：
>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);
>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)
得出结果：
ans=
0.5918 3.1407 6.2832 9.4248
【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2cosy=0 2-x-x
y 0.7cosx 0.2siny 0
先编制函数文件 fu.m:
function y=fu (x)
y (1)=x (1) - 0.7*sin ( x (1) ) - 0.2*cos( x (2) ) ;
y (2)=x (1) - 0.7*cos (x (1) ) + 0.2*sin (x (2) );
y =[ y(1), y(2) ];
在命令窗口调用fu运算：
>>x1 =fsolve( ‘fu’, [0.5,0.5 ])
x1 =
0.5265 0.5079
(2) 零点法
格式：fzero('fun',x0) %求函数fun在x0附近的零点。
说明：估计值x0若为标量时，则在x0附近查找零点，x0=[x1,x2]向量时，则首先要求函数值 fun(x1)fun(x2) 0，然后将严格在[x1,x2]区间内零点，若找不到，系统将给出提示。
非线性方程和常微分方程的解法
【例 1.74】 求函数 f(x) sinx2/x xex 4 的零点。
>> fn =inline('sin (x^2) / x+x* exp (x) - 4' );
>>x=fzero ( fn, [1,2] ) %这里的fn不要加单引号
x =
1.0748
注意：方程解的估计值 可用fplot作图看出；用function建立函数文件fn，求解调用时
fn两边要加单引号，而用inline时fn两边不要加单引号；这两种方法也可解线性方程组。
⒉ 代数方程的符号解
格式：g solve(eq) %求解方程eq 0，输入参量eq可是符号表达式或字符表达式。
g solve(eq,var) %对eq中指定的变量var求解方程eq(var) 0。
g solve(eq1,eq2, ,eqn) %求解方程组eq1 0,eq2 0, eqn 0。
g solve(eq1,eq2, eqn,var1,var2, ,varn) %对方程组eq1,eq2, eqn中指定的n
个变量加var1,var2, varn求解
【例1.75】
>>solve ( 'a*x^2 + b*x + c')
>>solve( 'a*x^2 + b*x + c', 'b')
>>[x,y] =solve ( 'x+y = 1', 'x -11*y= 5')
>>[a,u,v] =solve ('a*u^2 + v^2', 'u- v =1','a^2 -5*a +6')
计算结果为：
ans =
[ 1/2/a*(-b +(b^2-4*a*c)^(1/2) ) ]
[ 1/2/a*(-b -(b^2 -4*a*c)^(1/2) )]
ans =
-(a*x^2+c) /x
x =
4/3
y =
-1/3
a =
[2]
[2]
[3]
[3]
u =
[ 1/3+1/3*i*2^(1/2) ]
[ 1/3-1/3*i*2^(1/2) ]
[ 1/4+1/4*i*3^(1/2) ]
非线性方程和常微分方程的解法
[ 1/4-1/4*i*3^(1/2) ]
v =
[ -2/3+1/3*i*2^(1/2)]
[ -2/3-1/3*i*2^(1/2)]
[ -3/4+1/4*i*3^(1/2)]
[ -3/4-1/4*i*3^(1/2)]
注意：对于单个的方程或方程组，若不存在符号解，则返回方程（组）的数值解。
问题1.29：用符号法求解问题1.28中的方程，结果不对，所以要验根，多用几种方法相互验证，用符号法解方程3x e 0，解的表达式不易懂，怎么办？
x =solve('3*x^2-exp(x)')
x =
[ -2*lambertw (-1/6*3^(1/2) ) ]
[ -2*lambertw (-1,-1/6*3^(1/2) ) ]
[ -2*lambertw (1/6*3^(1/2) ) ]
再用命令：
>>vpa (x,3)
ans =
[ .912]
[ 3.72]
[ -.460]
3.常微分方程数值解法
格式：[T,Y] solver(odefun,tspan,y0) %区间tspan [t0,tf]上，用初始条件y0求解
显示微分方程y' f(t,y)
说明：solver为命令ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb,之一。
odefun为显示常微分方程y' f(t,y)。
tspan 积分区间 （即求解区间） 的向量tspan [t0,tf]。要获得问题在其他指的时 间点t0,t1,t2 上的解，则令tspan [t0,t1,t2 tf] （要求是单调的）。 2x
y0包含初始条件的向量。
求解具体ODE的基本过程如下所示。
1 根据问题所属学科中的规律、定律、公式，用微分方程与初始条件进行描述。 ○(n)F（y, y’, y’’, , y,t）=0 (n-1)y(0)=y0, y’(0)=y1, ,y(0)=yn-1
而y=[y; y(1);y(2); ;y(m-1)],n 与m可以不等。 (n-1)(n-2)2 运用数学中的变量替换：yn=y,yn-1=y, ,y2=y’,y1=y,把高阶（大于2阶）的○
方程（组）写成一阶微分方程组：
非线性方程和常微分方程的解法
y1 0 y0 y1' f1 t,y ' ft,yy0 2 y1 y2 2 ,y . . y' . .0 . . . . n-1 yn' ft,yy0y n n
3 根据○1与○2的结果，编写能计算导数的M函数文件odefile. ○
4 将文件odefile与初始条件传递给求解器Solver中的一个，运行后就可得到ODE的、○
在指定时间区间上的解列向量y（其中包含y及不同阶的导数）。
因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE问题，为此，MATLAB提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE问题，采用不同的Solver,具体如表1.11所示。
【例1.76】 求解微分方程y’=－2y+2x+2x, 0≦x≦0.5, y(0)=1.
>> fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');
>> [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);
>> x'
ans =
Columns 1 through 6
0 0.0400 0.0900 0.1400 0.1900 0.2400
Columns 7 through 12
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