南京邮电大学应用数学研究生真题,尤其是12,13,14年的数分高代真.

南京邮电大学应用数学研究生真题，尤其是12,13,14

年的数分高代真..

一、选择题

（1 ）设函数 在（-∞,+∞）连续，其2 阶导函数 ′′ 的图形如下图所示，则

f (x ) f (x )

曲线y f (x ) 的拐点个数为（ ）

（A ）0 （B ）1 (C) 2 ( D) 3

1

2x

?

1?

x ″ x （2）设 =+ ? 是二阶常系数非齐次线性微分方程 + ′+ 的一个特解， y

e

?x

?e

y ay by ce

2 ? 3 ? 则：

(A)a =?3,b =?1,c =?1. (B)a 3,b 2,c ?1.

(C)a =?3,b 2,c 1. (D)a 3,b 2,c 1.

∞ ∞

(3)若级数 a 条件收敛，则x 为幂级数 na x ?1 n的： ∑∑ n ( )

n n 1

(A)收敛点，收敛点.

(B)收敛点，发散点.

(C)发散点，收敛点.

3与x 3依次n 1

(D)发散点，发散点.

（4 ）设D 是第一象限中曲线2xy 1,4xy 1与直线y x ,y 3x 围成的平面区域，

函数f (x ,y ) 在D 上连续，则∫∫f (x ,y )dxdy

D

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π

π 1

（A ）3 dθ sin 2θ f (r cosθ,r sinθ)rdr 3 dθ sin 2θ f (r cosθ,r sinθ)rdr π

π 1 ∫

∫ ∫

1 B ）1 ∫ （

4 4 2sin 2θ

2sin 2θ

π 1 π 1

(C) 3 dθ sin 2θ f (r cosθ,r sinθ)dr 2θ f (r cosθ,r sinθ)dr

π 1 1

∫

∫ ∫

4 2sin 2θ 2sin 2θ

1 1 1 ? ? ? ? ? {1,2}

（5 ）设矩阵 ，集合 ，则线性方程组

A 1 2 a ( D) 3 1 ? ? ? ?

b dθ sin π ∫ 4 ，若 d

Ax b

? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 1 4 a d ? ? ? ?

有无穷多个解的充分必要条件为

（A ）a ??,d ?? （B ）a ??,d ∈?（C ）a ∈?,d ??（D ）a ∈?,d ∈?

（6 ）设二次型 在正交变换x Py 下的标准形为2y 2 +y 2 ?y 2 ，其中 f 1 2 3

1 2 3

(x

,x

,x

)

，若 ，则 在正交变换x Qy 下的标准形为

P (e ,e ,e ) Q (e ,=?e ,e ) f (x ,x ,x ) 1 2 3 1 3 2 1 2 3

2y 2 ?y 2 +y 2 2y 2 +y 2 ?y 2 2y 2 ?y 2 ?y 2 2y 2 +y 2 +y 2

（A ） 1 2 3 （B ） 1 2 3 （C ） 1 2 3 （D ） 1 2 3

A,B

（7 ）若 为任意两个随机事件，则

P(AB) ≤

P(AB) ≥P(A)P(B) （A （B ）

( )

P(A) +P(B)

P A +P B (

P(AB) ≥ （

C

）

P

AB

（D ）

2

P(A)P(B) ） (

) )

≤

2 (8)

设

随

机

变

量

X,Y

不相关，

且

EX

2,EY 1,DX 3,则E ??X (X +Y ?2)??

(A) ?3 (B)3 (C) ?5

二、填空题

ln cosx （9 ） lim 2 x→0 x

π sinx

2 ( +x )dx （10 ）∫-π 1+cosx 2

（11 ）若函数z z(x, y ) 由方程ex x 2 确定，则dz (0,1) . (D)5 +xyz+x +cos

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（12 ）设 是由平面x +y +z 所围成的空间区域，则 ?

(x 2y 3z )dxdydz ∫∫∫ + + ?

2 0 ? 0 -1 2 ? 0 ? ? ? 0 0 ? 2 （13 ） 阶行列式0 0 n

2 2 ? 2 -1 1与三个坐标平面 2 ? ? （14 ）设二维随机变量 (X ,Y ) 服从正态分布 N (1,0;1,1;0) ，则

P(XY ?Y <0) .

三、解答题

（15 ）设函数 ， 3 ，若 与 在x →0

f (x ) x =+a ln(1+x ) +bx ?sinx g (x) kx f (x ) g (x)

a b k 是等价无穷小，求 ， ，值。

（16 ）设函数f (x ) 在定义域 上的导数大于零，若对任意的x ∈I ，曲线 I

0

y f (x ) (x , f (x )) x x x

在点 0 0 处的切线与直线 0 及 轴所围成的区域的面积为4 ，

且f (0) 2,求f (x ) 的表达式。

（17 ）已知函数 ，曲线 2 2 ，求 在曲线

f (x,y ) x + + C :x +y +xy 3

y f (x,y )

C 上的最大方向导数.

（18 ）（本题满分10 分）

（Ⅰ）设函数 可导，利用导数定义证明 u(x),v(x)

[u(x)v(x)]'=u '(x)v(x)+u(x)v(x)'

u (x),u (x)...u (x) f (x ) u (x )u (x )...u

xy

(x ),

（Ⅱ）设函数1 2 n 可导， 1 2 n 写出f (x )

的求导公式.

（19 ）（本题满分10 分）

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? 2 2 z 2 =?x ?y , ?

B(0,? 2,0)

已知曲线 的方程为 为 ，终点为 L ? z x,

A(0, 2,0)

起点 ， ??

计算曲线积分I ∫L (y =+z)dx +(z2 ?x2 +y )dy +(x2 +y2 )dz

（20 ）（本题满分11 分）

3

设向量组 是 3 维向量空间基， ， α,α,α ? =+2kα β 2α

1 2 3 1 3 2 2

β α =+(k +1)α 。 3 1 3

3 （Ⅰ）证明向量组β,β,β 是 的一个基； ? 1 2 3

的一个， β 2α 1

（Ⅱ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基α,α,α与基 , , 下的坐标相同， β β β

1 2 3

ξ 并求出所有的 。

（21 ）（本题满分11 分）

?0 2 -3? 0?

? ?

设矩阵A ?-1 ?0 b 0 ?.

??1 -2 a ?1??

? 3 ?3 1 2 3 ?1 -2 ? ?相似于矩阵B ??0 3 ? （Ⅰ）求 的值. a,b

（Ⅱ）求可逆矩阵 ，使得 ?1 为对角阵. P P AP

（22 ）（本题满分11 分）

设随机变量 的概率密度为 X

?-x

2 ln 2 x >0 f (x )=?

? 0 x ≤0

对 进行独立重复的观测，直到第2 个大于3 的观测值出现时停止，记 为观

X Y 测次数.

（Ⅰ）求 的概率分布； Y

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（Ⅱ）求 . EY

（23 ）（本题满分11 分）

设总体X 的概率密度为

? 1 θ x 1 ? ≤ ≤ f (x ;θ)= 1 θ ??

??0 其他

θ X ，X .....X

其中 为未知参数， 1 2 n 为来自该总体的简单随机样本.

θ

（Ⅰ）求 的矩估计.

θ

（Ⅱ）求 的最大似然估计.

??0 其他

θ X ，X .....X

其中 为未知参数， 1 2 n 为来自该总体的简单随机样本.

θ

（Ⅰ）求 的矩估计.

θ

（Ⅱ）求 的最大似然估计.

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