第大学物理八九章习题解答分解

第八章 气体动理论

8-6 目前，真空设备内部的压强可达1.01?10?10Pa，在此压强下温度为27℃时1m3体积中有多少个气体分子?

解：由 p?nKT得

p1?01?10?10n???2?45?1010(m?3) ?23KT1?38?10?300

8-7 每秒有1023个氧分子以500m·s-1的速度沿与器壁法线成45o角的方向撞在面积为2?10?4m2的器壁上，问这群分子作用在器壁上的压强为多大?

解：每个分子对器壁碰撞时，对器壁的作用冲量为 f?t?2mvcos450 每秒内全部N个分子对器壁的作用冲量，即冲力为

F?N?2mvcos450

根据压强定义式得：

FN2mvcos450p===SS1023创232创10-3500?cos450=

6状021023创210-4=1状88104(Pa)

8-8 有N个粒子，其速率分布函数为 f(v)?dN?C （0v0） （1） 画出该粒子的速率分布曲线 （2） 由v0求出常量C

（3） 求粒子的平均速率

解: （1）粒子的速率分布曲线如图2-2所示 （2） 由于?f(v)dv??Cdv?Cv0

001v0f(v) C 由分布函数的归一化条件

?f?v?dv?1，得

0?O vo 图2-2

Cv0?1

则

v C?1 v0（3） 粒子平均速率为

v??vf(v)dv??v00?V0v1dv?0 v02

8-9 某些行星的温度可达到1.0?108K，这是发生核聚变（热核反应）所需的温度，在此温度下的恒星可视为由质子组成。试求：（1）质子的平均动能；（2）质子的方均根速率。（大量质子可视为由质点组成的理想气体） 解（1）将质子视为理想气体，

??kT??1.38?10?23?1?108?2.07?10?15(J)

（2）质子的方均根速率为：

3232v?

23RT3?8.31?1?1086??1.58?10(m/s) ?3?1?108-10. 储有氧气的容器以速度v?100m/s运动，假设该容器突然停止，全部定向运动的动能都变为气体分子热运动的动能，容器中氧气的温度将会上升多少？ 解：氧气为双原子分子 i??

内能U?M5RT （3分）

Mmol2M5R?T （2分）

Mmol2?U?根据题意有：?U?1Mv2 （3分） 2Mmolv????????容器中氧气的温度变化ΔT??(???)???.?K （2分）

?R???.??

8-11 CO2气体的范德瓦耳斯常量a?0.37Pa?m2?mol?2，b?4.3?10?5m3?mol?1，0 0C时其摩尔体积为6.0?10-4m3?mol?1，计算其压强。如果将其当成理想气体，压强又为多少？

解（1）由范德瓦耳斯方程(p?a)(V?b)?RT解得： 2VRTap??2

V?bV代入数据得：

RTa?2V?bV8.31?2730.37?? 6.0?10?4?4.3?10?5(6.0?10?4)2p??3.06?106Pa（2）若将气体当成理想气体，由pV?RT可得：

RT8.31?2736??3.78?10Pa ?4V6.0?10*8-11. 容器容积为20 L，其中装有1.1kg的 CO2气体，温度为13?C，试用范德瓦耳斯

p?方程求气体压强（取a=3.64?105 Pa·l2·mol-2，b=0.0427 l/mol， 并用理想气体状态方程求出结果作比较。这时CO2气体的内压强多大？

? CO2的摩尔质量：CO2气体的摩尔数：??MCO2?4.4?10?2kg/mol，

根据范德瓦耳斯方程：(p??2a)(V??b)??RT V2M??25mol ，MCO25?RT25?8.31?2862a23.64?106??气体压强：p?，p??25?2.58?10Pa 2?32(V??b)V(20?1.1)?1020由理想气体状态方程：p'V??RT，p'??RTV，p'?25?8.31?2866?2.97?10Pa， ?320?10分子的理想气体模型，忽略了分子本身占有的体积，导致了p'?p

此时CO2气体的内压强：pi??2

a，pi?0.57?106Pa 2V8-13一个长为L、半径R1?2cm的蒸汽导管，外面包围一层厚度2cm的绝热材料（其热导率?＝0.1 W·m-1·K-1）。蒸汽的温度为100℃，绝热层外表面的温度为20℃。单位时间单位长度传出的热量是多少？

解：如图2-3所示，设蒸汽导管的半径为R1，绝热层的外半径为R2。在绝缘层中取内半径为r、外半径为r+dr的薄层，由热传导定律

?Q?T????S ?t?x可知，单位时间内通过此薄层的热量为

dQdT????2?rL dtdrR1 r dr 由于绝缘层内外温度恒定，所以在稳态条件下，dQ/dt是常数。将上式移项并积分得

L R2 dQT2R2dr ?dT??Ldt?

T1R12??r

dQRT2?T1??Ldtln2

2??R1图2-3

于是，单位时间内单位长度的绝缘层传出的热量为

q?dQ2??(T1?T2)?

R2LdtlnR12??0.1?(100?20)4ln 2?71.8(W?m-1)?

*8-13. 一长为L，半径R1=2cm的蒸汽导管，外面包着一层厚度为2cm的绝热材料，导热系数为k=0.1w/mK，蒸汽的温度为100?C，绝热外套表面温度为20?C，保持恒定。

(1) 试问绝热材料柱层中不同半径处的温度梯度(2) 单位时间单位长度传出的热量是多少？

dT是否相同？ dr? 在蒸汽导管外面的绝热材料选取长度为l，半径为r和r’ 的两个圆柱面，单位时间内穿过两个

圆柱面的热量相等。 根据Q????(SdTdT为常数。 )dS，对于给定的圆柱面上，drdrdTdTdT)r(2?rl)，Qr'???()r'(2?r'l) )rdS，Qr???(drdrdr所以，Qr????(Sr??(dTdTdTdT)r(2?rl)???()r'(2?r'l)，()rr?()r'r' drdrdrdr所以绝热材料柱层中不同半径处的温度梯度不相同，即(在单位时间里，从长度为L传出的热量：

dTdT)r?()r' drdrQ????(SdTdTdT)2?Lr（在半径为r的圆柱面上为常数） )dS，Q???(drdrdrRT22QQdr??2?L?dT，两边积分：?dr??2?L??dT，因为穿过任一圆柱面的热量rrR1T1相等，

所以：QlnR2??2?L?(T2?T1) R22??(T2?T1)Q??

R2LlnR2单位时间单位长度传出的热量：Q'?Q'??2?3.14?0.1(293?373)，Q'?72.3J

2?2ln2

第九章热力学基础

9-5 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变； (2)压力保持不变． 解：(1)等体过程

由热力学第一定律得Q??E

吸热 Q??E??CV(T2?T1)??Q??E?iR(T2?T1) 23?8.31?(350?300)?623.25 J 2对外作功 A?0 (2)等压过程

Q??CP(T2?T1)??i?2R(T2?T1) 2吸热 Q?5?8.31?(350?300)?1038.75J 2 ?E??CV(T2?T1) 内能增加 ?E?3?8.31?(350?300)?623.25 J 2.75?62.35?41.55J 对外作功 A?Q??E?10389-6 0.01 m3氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa．试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩 T?300K 由p1V1?p2V2 求得体积 V2?对外作功

A??RTlnV2p?p1V1ln1 V1p2p1V10.1??0.01?1?10?4 m3 p210 ?1?1.013?105?0.01?ln0.01

???.??????J

(2)绝热压缩CV??57R ?? 25?p1V1?1/?由绝热方程 p1V1?p2V2 V2?()

p2p1V1?1/?p V2?()?(1)?V1

p2p210.11.4?()?0.01?3.73?10?4m3 101??1??由绝热方程T1?p1 得 ?T2??p2??1T1?p2T2???1?3001.4?(100)0.4p1?T2?1118.3K

热力学第一定律Q??E?A，Q?0 所以 A??MCV(T2?T1) MmolpV?pV5MRT，A??11R(T2?T1) MmolRT121.013?105?0.015A????(1118.3?300)??690.8 J

30029-7 理想气体由初状态(p1,V1)经绝热膨胀至末状态(p2,V2)．试证过程中气体所作的功为

A?p1V1?p2V2，式中?为气体的比热容比.

??1

答：证明： 由绝热方程

1 V?pV??p1V1??p2V2??C 得p?p1V1?A??pdV

V1V2A??V2V1dvp1V1?11p1V1r??(??1???1)

v??1V2V1? ??p1V1V1??1[()?1] ??1V2p1V1?又 A??(V2???1?V1???1)

??1p1V1?V1???1?p2V2?V2???1 ?

??1所以 A?p1V1?p2V2

??19-8 1 mol的理想气体的T-V图如题7-15图所示，ab为直线，延长线通过原点O．求

ab过程气体对外做的功．

题7-15图

解：设T?KV由图可求得直线的斜率K为 K?T0 2V0得过程方程 T?T0V 2V0由状态方程 pV??RT 得 p?ab过程气体对外作功

?RTV

A??2V0v0pdV

A????2V0V02V0v02V0RTRT0dV??VdVV0VV2V0RT0RTdV?02V02

9-9 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率；

(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少? 解：(1)卡诺热机效率 ??1?T2 T1??1?(2)低温热源温度不变时，若

300?70% 1000 ??1?300?80% T1要求 T1?150K0，高温热源温度需提高500K (3)高温热源温度不变时，若 ??1?T2?80% 1000要求 T2?200K，低温热源温度需降低100K

9-10 （1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要多少功?从-173℃向27℃呢?

(2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么?

解：(1)卡诺循环的致冷机

e?7℃→27℃时，需作功

Q2T2 ?A静T1?T2A1?T1?T2300?280Q2??1000?71.4 J T2280?173℃→27℃时，需作功

A2?T1?T2300?100Q2??1000?2000J T2100(2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的． 9-11 如题9-11图所示，1 mol双原子分子理想气体，从初态

V1?20L,T1?300K经历三种不同的过程到达末态V2?40L,T2?300K．

图中1→2为等温线，1→4为绝热线，4→2为等压线，1→3为等压线，3→2为等体线．试分别沿这三种过程计算气体的熵变．

解：1?2熵变 等温过程 dQ?dAdA?pdV

pV?RT

S2dQ2?S1??1T?1T1?V2RT1VdV

1VS2?S1?RlnV2V?Rln2?5.76 J?K?1 !1?2?3熵变

S2?S3dQ2d1??1T??Q3T STT22?S1??T3CpdTT?1?CVdTTT?C3T?CTplnVln2

3T1T31?3等压过程 p11?p3

VT?V2 1T3

T3V2T? 1V1题9-11图

3?2等体过程

p3p2 ?T3T2T2pTp?2 2?2 T3p3T3p1 S2?S1?CPlnV2p?CVln2 V1p1在1?2等温过程中 p1V1?p2V2 所以 S2?S1?CPln1?4?2熵变

V2VVCVln2?Rln2?Rln2 V1V1V1S2?S1??41dQ2dQ?? 4TT S2?S1?0??1?4绝热过程

T2CpdTTT4?CplnT2T?Cpln1 T4T4T1V1??1?T4V4??1T1V4??1???1 T4V1p1V1??p4V4?,V4pp?(1)1/??(1)1/? V1p4p2在1?2等温过程中 p1V1?p2V2

V4ppV?(1)1/??(1)1/??(2)1/? V1p4p2V1T1V?(2)T4V1??1?

S2?S1?CPlnT1??1V2?CPln?Rln2 T4?V19-12 有两个相同体积的容器，分别装有1 mol的水，初始温度分别为T1和T2，T1＞T2，令其进行接触，最后达到相同温度T．求熵的变化，(设水的摩尔热容为Cmol)． 解：两个容器中的总熵变

S?S0??TCCmoldTdT ??molT1T2TTTTTT2 ?Cmo(ln ?ln)?CmolnllT1T2T1T2因为是两个相同体积的容器，故

Cmo(lT?T2)?Cmo(lT1?T) 得 T?T2?T1 2(T2?T1)2 S?S0?Cmoln l4T1T29-13 把0℃的0.5kg的冰块加热到它全部溶化成0℃的水，问： (1)水的熵变如何?

(2)若热源是温度为20 ℃的庞大物体，那么热源的熵变化多大? (3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热??334 J?g?1) 解：(1)水的熵变

Q0.5?334?103?S1???612 J?K?1

T273(2)热源的熵变

Q?0.5?334?103?S2????570 J?K?1

T293(3)总熵变

?S??S1??S2?612?570?42 J?K?1

熵增加

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