聚焦知识交汇 适应高考创新(2)

　　1.3 几何体的截痕

　　例：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab，其中a,b为长、短半轴长）。

解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影

　　椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时

　　b=R，a==2R，∴离心率 ，

　　投影面积S=πab=π·k·2R=2πR2=18π。

　　评注：囿于空间想象能力的限制，几何体的截痕和投影是立体几何中的一个难点，也是具，有良好区分度的考题素材，因此有必要适当进行相应的训练，才能形成基本的解题策略。

　　1.4 几何体的展开

　　例：有一半径为R的圆柱，被与轴成45°角平面相截得“三角”圆柱ABC,则此“三角”圆柱的展开图为（   ）

　　解：设圆柱底面中心O，底面圆周上任一点P'，过P'的圆柱母线与截口交点为P，

　　∠AOP'=θ，则∵∠CBA=45°，作P'Q⊥AB于Q，∴|PP'|=|AC|－|AQ|=2R－（R－Rcosθ）=R（1+cosθ），AP'=Rθ。

　　∴在柱面展开图中，以AB直线为x轴，AC为y轴建立直角坐标系，相应点P坐标为（x,y），则有消去得 ，展开图轮廓线为余弦曲线，      故应选（D）

　　评注：几何体与其展开图，包含了平面与空间的大量信息，需要较强的空间想象能力，要进行点与对应点，线段与对应线段的位置与数量的细致分析，需找出变与不变量以及变化规律，因此，它是代数与几何、空间与平面的重要知识交汇点。

　　2．概率与数列的交汇

　　数列是以正整数n为自变量的函数，而n次独立重复试验中事件A出现k次的概率Pn(k)也是自然数n,k的函数，借助于自然数这一纽带，可实现数列与概率的交汇。

　　例4：质点从原点O出发，在数轴上向右运动，且遵循以下运动规律：质点向右移动一个单位的概率为，右移2个单位的概率为，设质点运动到点（n,0）的概率为Pn。

　　①求P1和P2。

　　②求证｛Pn－Pn－1｝是等比数列。

　　③求Pn。

　　解：①P1= ，

　　②由题意可知，质点到达点（n,0），可分两种情形，由点（n-1,0）右移1个单位或由点（n-2,0）右移2个单位，故由条件可知：（n≥3）

　　评注：本题解题关键是数列的递归规律，建立概率数列的递推公式，用数列知识解题，这种复杂的系列问题通过撷取其片段，解剖其规律，是破解难题的常用手段。

　　3．向量与三角、几何的交汇

　　向量既有长度，又有方向，因此，向量蕴含长度和角度，因此，以几何、三角为背景的问题便可成为产生向量问题良好温床。

　　例5：（04高考湖北卷19）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问和夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值。

　　评注：本题为用向量形式表现的几何最值问题，具有较强的综合性，适时建立坐标系，利用向量的坐标形式，最终转化为三角函数，大大降低了解题的难度。同时，也对相关知识的化归能力提出了较高要求。

　　4．向量与立体几何的交汇

　　在最新版部编教材中，向量的内容有所加强，特别在平面向量的运算规律和平面向量基本定理进一步扩充到空间中，向量的工具性地位更加突出，因此，用向量解立体几何问题也不应局限在建立空间直角坐标系，用空间坐标运算来解决问题，而应着眼于向量的本质内容。

　　例6：已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1各棱长均为1，

　　且棱AA1，AD，AB两两成60°角，E,F分别为

　　A1D1和B1B中点，求EF的长。

　　评注：本题新颖之处在于向量与立体几何的结合，并不只是建立空间直角坐标系，转化为坐标向量来解题。对于那种不方便建立空间直角坐标系的问题，如斜棱柱斜棱锥等可直接利用空间向量的运算性质解题。

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