通信信号自适应滤波处理仿真研究（一）(3)

　　2.1.2　E[e2(n)]与权值W的关系

    LMS自适应滤波器通过算法，当 最小时，滤波器已经调节出适合现在外部环境的滤波器权值W。

(1)我们可以先推导出 与加权系数W的关系式。

写成矩阵形式：              式(2.1.2.1)

误差：                          式(2.1.2.2)

则                                                                     式(2.1.2.3)

令 带入式(2.1.2.3)中得

可以从上式看出均方误差  是加权系数 的二次函数，它是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具有唯一最小值的函数。即 与 的关系在几何上是一个“碗形”的多维曲面。为了简单，设 是一维的，则与 的关系成为一个抛物线。调节加权系数 使均方误差最小，相当于沿超抛物形曲面下降到最小值。连续地调节加权系数使均方误差最小，即寻找“碗”的底点。碗底： ，即 点。

2.1.3 LMS算法推导

最小均方差（LMS）算法，即权系数递推修正达到最佳权系数 是依据最小均方算法。最陡下降法（Steepest Descent Method）是LMS算法的基础，即下一时刻权系数矢量 应该等于“现时刻”权系数矢量  加上一项比例为负的均方误差函数的梯度  ，即

                                                       式（2.1.3.1）

其中  为

                                      式（2.1.3.2）

 为控制收敛速度与稳定性的数量常数，称为收敛因子或自适应常数。式（2.1.3.1）中第二项前的负号表示当梯度值为正时，则权系数应该小，以使 下降。根据式（2.1.3.1）的递推算法，当权系数达到稳定时，一定有 ，即均方误差达到极小，这时权系数一定达到所要求的最佳权系数 。LMS算法有两个关键：梯度 的计算以及收敛因子 的选择。按（2.1.3.2）计算 时，要用到统计量G，P，因此有很大困难，故通常用一种粗糙，但却有效的方法，就是 用 代替，即

                       式（2.1.3.3）

式（2.1.2.3）的含义是指单个误差样本的平方 作为均方误差 的估计值，从而使计算量大大减少。从而最终可以推出权系数迭代的LMS算法为：

                        式（2.1.3.4）

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