带你走进世界数学发展史(3)

波你尼（公元前5世纪）发明了梵语语法。他的表示法很接近现代数学符号，并且应用了元规则、几何变换和递归。Pingala在他的诗歌韵律论述文中，使用了和二进制计数系统相关的文学手法。他对音乐节拍的组合数学讨论，相当于二项式定理的简单版本；Pingala的著作还包括了斐波那契数列的基本思想 （称作 mātrāmeru）。

继 Sulba Sutras之后的下一份重要的数学档案是 Siddhantas，是公元4世纪到公元5世纪写成的天文学著作，显示了来自希腊的强烈影响。它们之所以意义重大，是因为它是最早基于半弦来定义三角函 数关系的，就像现代几何学一样，而非托勒密三角几何中的全弦。尽管伴随着一系列翻译错误，但正弦（sine）和余弦（cosine）就是来自梵语的 jiya和kojiya。

在公元5世纪，阿耶波多完成了《阿里亚哈塔历书》，一本很薄的著作，用诗篇写成，目的是作为天文计算和数学测量法的补 充，尽管其中并没有逻辑和演绎法的应用。虽然书中几乎一半的内容都是错误的，但这是十进制进位系统第一次出现，几个世纪之后，阿拉伯数学家阿布·比鲁尼表示， 此书是“普通石头和高贵水晶的混合”。

公元7世纪，婆罗摩笈多发现了婆罗摩笈多定理，婆罗摩笈多性质和婆罗摩笈多公式。并且首次《婆罗摩历算书》提出了零。他清晰的阐述了如何将零同时作为占位符和数字，并且解释了印度-阿拉伯数字系统。 从这本印度著作的一本阿拉伯语翻译（约公元770年）中，阿拉伯数学家引进了此计数系统，并且将其转化为了阿拉伯数字。阿拉伯数学家又将这套数字系统的知 识在12世纪带到了欧洲，并在此时取代了一切更老的数字。在公元10世纪，Halayudha对Pingala著作的注释中，包括了对斐波那契数列和帕斯 卡三角的研究，并提出了矩阵。

在公元12世纪，居住在印度南部的婆什迦罗第二全面的写下了关于数学所有分支的著作。他的著作包含的数学概念等价或几乎等价于我们今天的无穷小量、导数、中值定理和正弦函数的导数。但他究竟在多大程度上提前发明了微积分，依然是一个在被数学史学家争议的论题。

在14世纪，Madhava of Sangamagrama， Kerala数学学院的创立者，发现了π的莱布尼茨序列，并用该公式的21项计算出圆周率为3.14159265259。Madhava也发现了用来计算反正切的Madhava–Gregory 级数。Nadhava-牛顿公式也给出的正弦和余弦函数的计算以及它们的泰勒逼近。在16世纪，Jye??hadeva将学院的理论统一成了Yukti-bhā?ā。然而，Kerala学院并没有发展出一套微分和积分的完整理论，也没有任何直接证据证明Kerala的成果曾被传出。

阿拉伯数学

横跨波斯、中东、中亚、北非、伊比利亚和印度部分地区的阿拉伯帝国在公元八世纪对数学做了重要贡献。尽管大多数阿拉伯著作都是用阿拉伯语写成的，但多数作者不是阿拉伯人，这就像是希腊语之于希腊化时期一样，阿拉伯语是当时整个伊斯兰世界非阿拉伯学者的书面语。

在九世纪，波斯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米写下了很多关于印度-阿 拉伯数字和方程解法的重要书籍。他在公元 825 年写成的《印度数字的计算》，加上肯迪的著作，共同把印度数学和印度数字传入西方。Algorithm（算法）这个单词就是来自花拉子米名字的拉丁化拼写 Algoritmi；而 algebra（代数）这个单词则来自他的一本书，《消去与还原》（Al-Kitāb al-mukhta?ar fī hīsāb al-?abr wa’l-muqābala）。他对根为整数的二次方程给出了详尽的代数解法，是为了代数本身而讲授初等形式代数的第一人。他同时也讨论了两种解方程的基本方法，“消去”和“平衡”，也就是把方程一侧被减去的项，转移到方程的另一侧，从而将一侧的项“消去”了。花拉子米把这种方法称为 al-jabr。他的代数学不再仅仅注重“给出的一系列问题，而是从基本术语开始讲解，给出所有可能出现的方程形式，从而明确了真正的研究对象”。他是为了方程本身而研究方程，他的研究是“在一般意义上的研究，不仅仅是为了解决一个问题，而是为了能通过它解决无限多个问题”。

在埃及，Abu Kamil将代数推广到了无理数的集合，允许将平方根和四次方根作为二次方程的解和系数。他也发展出了解由含有三个未知数的三个方程联立组成的非线性方程组的解法。他成果中的一个独特之处，在于他试图在一些问题中，去寻找一切可能的解，他甚至对其中一个问题给出了2676个解。他的著作成为了代数学发展的重要根基，并且影响了随后的数学家，如al-Karaji和斐波那契。

代数学的更深远发展是由Al-Karaji在他的专著《al-Fakhri》中作出的。其中，他将数学方法进行了扩展来incorporate integer powers and integer roots of unknown quantities。在Al-Karaji在公元1000年左右写成的一本书中，出现了一份很接近归纳法的数学证明，被用来证明二项式定理、帕斯卡三角形和立体积分求合的命题。数学史学家 F.Woepcke，赞扬Al-Karaji是“引入代数微积分理论的第一人。”同样在公元10世纪，Abul Wafa将丢番图的著作翻译成了阿拉伯语。lbn al-Haytham 是第一个推导出四次幂和的公式的数学家，他使用的方法可以非常容易推广出能求任意次幂和的公式。他为了求抛物面面积而计算了积分，并且能够将他的结果推广 到任何四次以内的多项式中。因此可以说，他差点就发现了计算多项式积分的通用公式，然而他并不关心高于四次的多项式。

11世纪晚期，Omar Khayyam写成了《欧几里得困难的讨论》，对欧几里得《几何原本》中他认为存在的缺陷进行了讨论，特别是关于平行公设的问题（即著名的第五公设）。他也是第一个发现了三次方程几何上的一般解，对历法改革也施加了重要的影响。

13世纪，Nasir al-Din Tusi推进了球面三角学的发展，他也写下了关于欧几里得平行公设具有影响力的著作。16世纪，Ghiyath al-Kasi将圆周率的值计算到了小数点后16位。Kashi也提出了一个求n次方根的算法，他的这个算法是数个世纪后保罗·鲁非尼和威廉·乔治·霍纳提出的方法的一个特例。

阿拉伯数学家在同一时期的其它成就，包括了为阿拉伯数字加入了小数点，发现了除当时已被知晓正弦函数之外的全部现代三角函数；al-Kindi将密码分析和频率分析引入数学；Ibn al-Haytham对解析几何的发展；Omar Khayyam引领了代数几何的开端；al-Qalasadi发明的一类代数符号。

在奥斯曼帝国和十五世纪开始的萨非王朝期间，阿拉伯的数学发展陷入萧条之中。

中世纪欧洲数学

中世纪欧洲，人们对数学产生兴趣的动机和如今的现代数学家大不相同。其中一个动因是，相信数学是理解神创造的自然秩序的钥匙 —— 这是常常被论证的主题，例如柏拉图在《蒂迈欧篇》中有所表示，而圣经（《所罗门智训》）则说 —— 神“处置一切事物，原有一定的尺度、数目和衡量。”

波爱修斯在他的课程中为数学提供了一席之地，在公元6世纪，他创造了词汇“四术”（quadrivium）来指对算术、几何、天文学和音乐的学习。他著有《De institutione arithmetica》，对希腊哲学家的尼科马库斯所写的《算术导论》的意译。De institutione musica，同样是源自希腊文献；以及对欧几里得《几何原本》的一系列摘录。他的著作都是理论而非实践的，而且在希腊和阿拉伯著作复原之前，一直都是数学研究的基础。

12世纪，欧洲学者远游西班牙和西西里岛去搜集阿拉伯的科学文献，找到的文献包括花拉子米的《消去与还原》，被Robert of Chester翻译成拉丁文；欧几里得《几何原本》的完整文本，被Adelard of Bath, Herman of Carinthia，和Gerard of Cremona翻译成了多个版本。

这些新的著作点燃了数学复兴的星星之火。斐波那契首当其冲，在1202年写成并在1254年再版了《Liber Abaci》，成为了继埃拉托斯特尼之后第一个做出重大发现的数学家，填补了这整整一千多年的空白。印度-阿拉伯数字相关的成果也被传入欧洲，并且其它相关的数学问题也有讨论。

14世纪，为了探究各种各样不同的数学问题，发展出了许多新的数学概念。其中一个重要贡献是关于局部运动的数学发展。

托马斯·布拉德华提出，随着力（F）与阻力（R）的比例成几何增长，速度（V）就会成算术比例增长。布拉德华以一系列具体的例子来对此加以说明。虽然对数在当时还没有被发明出来，但我们可以把他的结论理解为 V = log(F/R)，虽然这是一个时代错误。布拉德华的分析，是al-Kindi和Arnald of Villanova两人研究量化复合药剂本质时所用的数学技巧，后来被转移到了另一个完全不同物理问题上的例子。

14世纪哈佛计算学者成员之一，William Heytesbury，以一种没有微积分和极限概念的形式，提出了通过by the path that would be described by (a body) if... it were moved uniformly at the same degree of speed with which it is moved in that given instant来测量瞬时速度。

Heytesbury 和其它数学家，通过把一个物体全部的加速运动进行累计（今日即积分法），从而在数学上求得物体运动的距离，认为一个恒定运动的物体在加速或者减速运动时在一段时间内运动的距离等于相同时间内其以平均速度运动过的距离。。

巴黎大学的尼克尔·奥里斯姆和意大利的Giovanni di Casali独立的提出了（这个关系）的图示，断定一条表示均匀加速运动的直线，直线下面积就是物体运动的总路程。在随后对欧几里得《几何原本》的注解中，奥里斯姆demonstrated that a body will acquire in each successive increment of time an increment of any quality that increases as the odd numbers. Since Euclid had demonstrated the sum of the odd numbers are the square numbers, the total quality acquired by the body increases as the square of the time.

文艺复兴

在文艺复兴期间，数学的发展和会计学的发展是相辅相成的。虽然代数和记账之间并没有直接的联系，这门学科的教材和书籍也往往是为了给商人的孩子在reckoning学校或者abacus学校学习商业和贸易的实用技能而准备的。确实，如果只是记账的话大概是不需要代数的。但是，对于更复杂的交易，或者复息利率的计算，就必须掌握算术，而代数知识也就十分有用了。

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