第7章平面弯曲

第7章 平面弯曲

7.1【学习基本要求】

1、理解平面弯曲和对称弯曲、横力弯曲与纯弯曲的概念； 2、掌握剪力和弯矩的概念，会求某一横截面上的剪力和弯矩； 3、掌握梁的内力方程的写法；

4、理解剪力、弯矩和分布载荷集度的微积分关系；

5、熟练掌握微分法和叠加法作简单梁的剪力图和弯矩图； 6、了解静定多跨梁的剪力图和弯矩图的作法；

7、熟练掌握梁在平面弯曲时横截面上的正应力和切应力分布规律和计算公式； 8、熟练掌握梁的弯曲正应力和切应力强度计算；

9、掌握工程上几种常见截面梁的弯曲刚度和抗弯截面系数的计算公式； 10、了解提高梁弯曲强度的措施；

11、理解梁的变形的度量——挠度和转角的概念及其关系； 12、理解梁的挠曲线近似微分方程及其适用范围； 13、会用积分法求梁的变形；

14、掌握用叠加法求梁的挠度和转角； 15、掌握运用刚度条件进行梁的刚度计算； 16、了解提高梁弯曲刚度的措施。 7.2【要点分析】

1、对称弯曲和平面弯曲

当杆件受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。如果杆件的几何形状材料性能和外力都对称于杆件的纵向对称面则称为对称弯曲。如果杆件变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。本章主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，

图7-1

如图7-1所示。

【注意】对称弯曲必定是平面弯曲，但平面弯曲不一定是对称弯曲。

弯曲是工程实际中最常见的一种杆件的变形形式，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。支座反力可以完全由静力平衡条件计算得到的梁称为静定梁。本章主要研究单跨静定梁，可分别三种形式，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。

2、梁的内力——剪力和弯矩

梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为FS=FS (x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。

为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图7-2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图7-3所示。

图7-2 图7-3

由截面法可知梁的剪力和弯矩都是与相应的外力组成平衡力系，所以有以下结论：①

梁的任一截面上的剪力等于该截面一侧所有竖向外力的代数和，且外力对截面形心产生顺时针转向的矩引起正剪力，否则引进负剪力；②梁的任一截面上的截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面形心矩的代数和，且外力使得上侧受拉引起正弯矩，否则引起负弯矩。利用上述结论可以方便地由荷载图求得任一截面上的剪力和弯矩。

表示沿梁的剪力和弯矩随截面位置变化的图线，也就是将剪力方程和弯矩方程用函数图形表现出来，称为剪力图和弯矩图。

作图时以梁轴线为x轴，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，按照适当的比例绘出FS=FS(x)和M=M(x)的曲线。作剪力图时，规定正剪力画在x轴上侧，负剪力画在x轴下侧，并标上正负号；作弯矩图时由于工程上常把弯矩图画在梁受拉的一侧，所以规定正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧。

作剪力图和弯矩图的方法主要有三种：一是通过剪力方程和弯矩方程作图，二是通过弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系作图，三是利用叠加原理作图。

3、弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微积分关系及其应用

设分布荷载集度q(x)是截面位置x的连续函数，且规定q(x)向上为正，向下为负，则有下列微分关系

2dM(x)dFS(x)(x)?FS(x)，dM2?q(x)，?q(x) (7.1)

dxdxdx通过式(7.1)可得下面三个结论：

1）梁任一横截面上的剪力对x的一阶导数等于同一截面上分布荷载的集度，即剪力图上某点处的切线斜率等于梁上相对应点处的荷载集度值。

2）梁任一横截面上弯矩对x的一阶导数等于同一截面上的剪力，即弯矩图上某点处的切线斜率等于梁上相对应截面上的剪力值；

3）梁任一横截面上弯矩对x的二阶导数等于同一截面上分布荷载的集度，即可以通过梁上该点处荷载集度q(x)符号来确定弯矩图的凸凹方向。

b由式(7.1)可得在x=a和x=b处两截面间的积分为b（如图7-4所adFQ(x)?aq(x)dx??示），也可写成

FS(b)?FS(a)??baq(x)dx

同理，可得

(7.2a)

M(b)?M(a)??baFS(x)dx (7.2b)

以上是弯矩、剪力与分布荷载集度之间的积分关系，利用上述关系可得以下结论：

1）截面x=b的剪力等于截面x=b的剪力与两截面间的分布荷载图的面积之和。

2）截面x=b的弯矩等于截面x=b的弯矩与两截面间的剪力图的面积之和。

另外，在集中荷载作用处剪力图和弯矩图还有如下特征：

1）集中力作用处梁的两侧截面上剪力值有突变，突变值等于集中力的大小，剪力图上有突变，弯矩图是出现“尖点”。

2）集中力偶作用处梁的两侧截面上弯矩值有突变，突变值等于集中力偶的大小，剪力图上无变化，弯矩图上有突变。

这种突变现象发生的根本原因是由于集

图7-4

图7-5

中荷载被假设作用在一个“点”上。实际上，集中荷载是作用在梁的一段微小的长度上，如图7-5所示。剪力、弯矩在这段微小的梁段上还是逐渐地连续变化的。

根据以上所述的剪力和弯矩与荷载集度之间的微积分关系及结论作梁的剪力图和弯矩的方法称为微分法，其规律如图7-1所示。

利用微分法画梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下：

1）分段，即根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段；

2）根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状；

3）利用计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的FS值和M值； 4）逐段直接绘出梁的FS图和M图。

表7-1弯矩、剪力与荷载集度的微分关系在内力图上的反映

4、由叠加原理作剪力图和弯矩图

梁的支座反力还是其截面上的剪力或弯矩都与荷载（如q、M、FP等）保持线性关系。在小变形条件下梁在几个荷载共同作用下产生的某一截面处内力等于各荷载单独作用该截面上产生内力的代数和，这一结论称为叠加原理。

利用叠加原理作梁的剪力图和弯矩图，具体方法是先分别作出各个单独荷载作用时的剪力图和弯矩图，然后将其相应的纵坐标叠加，即得到梁在所有荷载共同作用下的剪力图和弯矩图，这种方法称为叠加法。

叠加原理的适用前提是材料处在弹性范围内，即应力和应变成正比例关系。另外叠加原理不仅仅适用于梁的内力的叠加，对于其它结构中支座反力、内力、应力和变形也适用。

实际应用中，常利用叠加法来梁的弯矩图。对于图7-6(a)所示的简支梁有如下

左右规律，MA?m2，?m1，MB(a) (c) m1?m2ql2，其弯矩M中??28图如图7-6(b)所示。下面再来研究一下图7-6(c)所示的一段梁AB，其本质上与图7-6(a)所示的梁是相同的，所以其弯矩图也与图7-6(b)相(b) (d) 似，如图7-6(d) 所示。 图7-6

有了这一规律，就可以把任意的梁分成若干段图7-6(c)所示的梁段去处理，使得分段后的每一段梁上或者受均布荷载作用，或者没有均布荷载作用，这样只要求得每一段梁上左右两端和跨中截面处的弯矩值就可方便简捷地作出这一段梁的弯矩图。这样作弯矩图的方法称为分段叠加法，这也是工程上最常用的作弯矩图的方法。

【说明】尽管分段叠加法具有方便简捷的优点，但它也有一个缺点，就是不能求得梁内的最大弯矩值及其作用截面。由于在实际工程中最有意义的往往是最大弯矩值，所以可以通过分段叠加法得到的弯矩图，观察得到最有可能产生最大弯矩的梁段，然后利用剪力等于零的截面上弯矩有极值这一条件，来求得该段梁上弯矩的极值，最后再判断梁上的最大弯矩值即可。

5、弯曲正应力

在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲，梁上剪力和弯矩同时存在，称为横力弯曲。弯矩与横截面上法向分布内力即正应力相对应，剪力则与横截面上切向分布内力即剪应力相对应。所以梁横截面上一般是既有正应力，又有剪应力。

在弹性范围内，梁在弯曲变形时有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，只是由原来的平面变成曲面，称为中性层；中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心并垂直于纵向对称平面，如图7-7所示。中性层的曲率与弯矩的关系为

1M(x) (7.3)

??(x)EIz其中，z轴为中性轴，ρ(x)为中性层的曲率半径，M(x)为梁横截面上的弯矩方程，EIz为梁的抗弯刚度，

图7-8

图7-7

梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图7-8所示，即有

M(x) (7.4) ??yIz所以中性轴把截面分成受拉区和受压区两部分，且最大拉应力和最大压应力发生在上下边缘处，其值为

M?max?ymax (7.5)

Iz令 Wz?Iz (7.6)

ymaxM ?max? (7.7)

Wz其中Wz称为抗弯截面系数，它与横截面的几何尺寸和形状有关，量纲为[长度]3，常用单位为mm3或m3。

【注意】①弯曲正应力公式适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围内对称弯曲的小变形问题。②纯弯曲时，公式结果为精确解，横力弯曲时，结果有误差。当梁的跨高比l/h≥5时，误差一般不超过5%。③若中性轴为截面对称轴，则最大拉应力和最大压应力绝对值相等，若中性轴不是截面对称轴，则最大拉应力和最大压应力绝对值不相等。④公式(7.4)中M和y都可能是正值或负值，但是实际计算时通常都带绝对值，正应力σ的正负主由该点处在受拉区还是受压区来确定。

6、弯曲切应力 1）矩形截面梁

对于矩形截面梁，横截面上各点处切应力的方向与剪力平行，大小沿截面宽度均匀分布，沿高度呈抛物线分布，且在截面上、下边缘各点处切应力等于零，在中性轴处切应力最大，如图7-9所示，计算公式为

*FSSz (7.8) ??Izb最大切应力为

3F?max?S (7.9)

2A

图7-9

2）工字形截面梁

对于工字形截面（或T型截面梁），截面上剪力的绝大部分由腹板来承担，约占总剪力的95%~97%，并且腹板上的最大切应力与最小切应力相差不大，如图7-10所示，计算公式为

*FSSz (7.10) ??Izd在翼缘上，剪应力的情况比较复杂，既有与剪力平行的切应力分量，也有与翼缘长边平行的切应力分量，但与腹板上的切应力比较，数值很小，所以在一般情况

图7-10 下不予考虑。

7、梁的强度计算

梁的强度要求可概括为两个方面，即梁内的最大正应力不超过材料的许用应力和最大切应力不超过材料的许用切应力。对于等直梁，强度条件为

*MmaxFSmaSxzmax， ?max??[?]?max??[?] (7.11) WzIzb根据梁的正应力和切应力强度条件，可以解决梁的强度校核、选择截面尺寸和确定许用荷载三类工程强度设计问题。

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