线性规划案例分析(1)

1. 在一个金属板加工车间内，要从尺寸为48分米?96分米的大块矩形金属板上切割下小块

的金属板。此车间接到订单要求生产8块大小为36分米?50分米的矩形金属板，13块大小为24分米?36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米?30分米的矩形金属板。这些金属板都需要从现有的大金属板上切割下来。为了生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大金属板？ 列出该问题的线性规划模型。

2. 某县级市正在研究引进公交系统以减轻市内自驾车引起的烟尘污染。这项研究的目标是

寻求满足运输所需要的最少公交车数。在收集了必要的信息之后，市政工程师注意到，每天所需的最少公交车数随一天中的时间不同而变化，而且所需的最少公交车数在若干连续的4小时间隔内可以近似看成一个常数。图1描述了工程师的发现，为了完成公交车所需的日常维护，每辆公交车一天只能连续运行8小时，问该市至少需要多少量公交车？列出该问题的线性规划模型。

1212840:004810744:008:0012:0016:0020:0024:00

图1

3. 某银行正在制订一项总额可达6000万元的贷款策略，表1提供了各类贷款的相关数据。

表1

贷款类型 个人 汽车 住房 农业 商业

利率 0.140 0.130 0.120 0.125 0.100

坏账比率 0.10 0.07 0.03 0.05 0.02

其中，坏账不可收回且不产生利息收入。

为了与其它金融机构竞争，要求银行把至少40%的资金分配给农业和商业贷款。为扶持当地的住房产业，住房贷款至少要等于个人、汽车和住房贷款总额的50%。银行还有一项明确的政策，不允许坏账的总比例超过全部贷款的4%。试寻求一种最佳贷款策略，使得银行的净收益达到最大。建立此问题的线性规划模型。

4.某种产品在未来4个季度的需求量分别是300，400，450，250件，每件的价格在第1季度以20元开始，其随后的每个季度增加2元。供应商在任一季度最多可以提供产品400件。尽管我们可以利用前面季度的低价优势，但它会导致每季度每件3.5元的储存成本，另外，从一个季度到下一季度的最大件数不能超过100件，试为该产品建立一个最优的采购计划以满足需求且使总成本最低。建立该问题的线性规划模型。

5. 某公司有30万元可用于投资，投资方案有下列几种：

方案一：年初投资1元，第二年年底收回1.2元，5年内都可投资，但投资额不能超过

15万。

方案二：年初投资1元，第三年年底可收回1.3元，5年内都可以投资。 方案三：年初投资1元，第四年年底可收回1.4元，5年内都可以投资。

方案四：只在第二年年初有一次投资机会，没投资1元，4年后可收回1.7元，但最多

投资额不能超过10万元。

方案五：只在第四年年初有一次投资机会，每投资1元，年底可收回1.4元，但最多投

资额不能超过20万元。

方案六：存入银行，每年年初存入1元，年底可收回1.02元。 投资所得收益及银行所得利息可以继续用于投资，求使公司在第五年年底收回资金最多的投资方案。建立该问题的数学模型。

6．假设有三件任务A、B、C分配三个工人甲、乙、丙去做，各人的工作能力和技术水平不

同，因而完成某项工作所取得的效果也不同，三人干各任务的工作如表2所示。现在要求每件工作都由一个适当的工人担任，使总效果达到最大。建立该问题的数学模型。

表2

效果 工人甲 工人乙 工人丙 工作A 工作B 工作C 10 7 3 2 8 9 4 7 5 7. 某工厂生产三种产品I、II、III，每种产品要经过A、B两道加工工序。设该厂有两种规

格的设备能完成A工序，它们以A1、A2来表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1、B2、B3表示。产品I可在工序A和工序B的任何一种规格的设备上加工；产品II可在工序A的任何一种规格的设备上加工，但在完成工序B时，只能在B1设备上加工；产品III只能在A2和B2设备上加工。假定产品I的销售量不超过800件，已知三种产品在各设备上加工时，单位产品耗用的工时数（单位工时）、原材料费、产品销售价格、各种设备有效台时以及满负荷操作时设备使用费用如表3所示。问如何安排生产计划，使该厂的总利润最大。建立该问题的数学模型。 表3

设备 A1 A2 B1 B2 B3 原材料（元/件） 单价（元/件）

产品 I 5 7 6 4 7 2.5 12.5 II 10 9 8 - - 3.5 20.0 III - 12 - 11 - 5.0 28.0 有效台时 6000 10000 4000 7000 4000 - - 使用费用（元/小时） 300 321 250 783 200

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