高等数学（工本）网络助学阶段测评2

高等数学（工本）-阶段测评2

1.单选题

1.110.0设积分区域D：x2＋y2≤R2，则二重积分∫∫Dx(x2＋y2)dσ=（） A a0 b1 c2πR2 d-1

因为积分区域关于y轴对称,被积函数是x的奇函数，所以积分值为0。∫∫Dx(x2+y2)dxdy=∫-RRdy∫-R2-x2R2-x2 x(x2+y2)dx=0

1.210.0设f(u)是连续函数，区域D:x2+y2≤1，则二重积分∫∫Df(x2+y2)dxdy=（） B

a2π∫01f(r2)dr b2π∫01rf(r)dr c2π∫01f(r)dr d4π∫01rf(r)dr

∫∫Df(x2+y2)dxdy=∫∫Df(r)rdrdθ=∫01(∫02πdθ)f(r)rdr=2π∫01f(r)rdr

1.310.0设有空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,(z≥0)及

Ω2:x2+y2+z2≤R2,(x≥0,y≥0,z≥0)则下列结论正确的是（） C

a∫∫∫Ω1xdv=4∫∫∫Ω2xdv b∫∫∫Ω1ydv=4∫∫∫Ω2ydv c∫∫∫Ω1zdv=4∫∫∫Ω2zdv d∫∫∫Ω1xyzdv=4∫∫∫Ω2xyzdv

根据积分区域和被积函数的对称性得C正确。

1.410.0计算三重积分I=∫∫∫Ω3z2dxdydz ,其中Ω是旋转抛物面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域（）

D a4π3 b34 cπ4 d3π4

Ω上z的最大变化范围是：0≤z≤1，对每个z∈[0,1]，区域Ω上的点满足x2+y2≤z故I=∫∫∫Ω3z2dxdydz=∫013z2dz∫∫x2+y2≤zdxdy=∫013πz3dz=3π4z4|01=3π4

1.510.0计算积分I=∫01dx∫x1sinyydy=（） A a1-cos1 b1+cos1 c1-sin1 dcos1-1

由I=∫01dx∫x1sinyydy的积分限0≤x≤1x≤y≤1知此不等式组对应平面区域D：如图该区域的另一种不等式表示为：{0≤y≤10≤x≤y故

I=∫01dx∫x1sinyydy=∫∫Dsinyydxdy=∫01sinyydy∫0ydx=∫01sinydy=-cosy|01=1-cos1

1.610.0设f(x,y)是连续函数，则∫0adx∫0xf(x,y)dy 等于（） B

a∫0ady∫0yf(x,y)dx b∫0ady∫yaf(x,y)dx

c∫0ady∫ayf(x,y)dx d∫0ady∫0af(x,y)dx

二重积分交换积分次序，用积分区域的图形来分析。

1.710.0积分区域Ω:0≤x≤1,0≤y≤1,1≤z≤2，三重积分∫∫∫Ωxyzdxdydz=（） B a2ln(14) b14ln2 c12ln2 d12

∫∫∫Ωxyzdxdydz=∫01dx∫01dy∫12xyzdz=∫01xdx?∫01ydy?∫121zdz=[12x2]01?[12y2]01?[lnz]12=14ln2

1.810.0计算三重积分I=∫∫∫Ω(x+y+z)dxdydz，其中Ω是由平面x=2,y=2,z=2及坐标面所围成的闭区域（）

A a24 b42

c4 d2

应用对称性易知∫∫∫Ωxdxdydz=∫∫∫Ωydxdydz=∫∫∫Ωzdxdydz故∫∫∫Ω(x+y+z)dxdydz=3∫∫∫Ωzdxdydz=3∫02dx∫02dy∫02zdz=3?8=24

1.910.0计算二重积分I=∫∫D(2x-y)dxdy，其中D是顶点分别为(0,0),(-1,0)(-1,-1)的三角形闭区域（） C a0.5 b-0.2 c-0.5 d-0.7

区域D的不等式表示：D:-1≤x≤0,x≤y≤0故

I=∫∫D(2x-y)dxdy=∫-10dx∫x0(2x-y)dy=∫-10(2xy-12y2)|x0dx=∫-10(12x2-2x2)dx=-12∫-103x2dx=-12x3|-10=-12

1.1010.0设积分区域D：x2＋y2≤3，则二重积分∫∫D-3dxdy=（） A a-9π b-3π c3π d9π

二重积分1)根据二重积分性质：常数因子可以提到积分号外面，即∫∫D(－3)dxdy＝(－

3)∫∫Ddxdy2)根据积分中值定理，∫∫D1dxdy=|D|，即 ∫∫D(-3)dxdy＝(-3)∫∫Ddxdy=-9π

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