2019版高考数学（理科）总复习教师用书练习：4.1 数列基础题 含

4.1 数列基础题

命题角度1求数列的通项公式 高考真题体验·对方向

1.(2016浙江·13)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= . 答案 1 121 解析 由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,

所以a1=1,a2=3.

再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2), 得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).

又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列. 所以S5==121. 2.(2015全国Ⅱ·16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= . 答案 -

解析 由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得=1,即=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,∴=-n,∴Sn=-.

新题演练提能·刷高分

1.(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}中,a1=2,+ln1+,则an=( )

A.2+nln n B.2n+(n-1)ln n C.2n+nln n D.1+n+nln n 答案 C 解析 由题意得=ln(n+1)-ln n,n分别取1,2,3,…,(n-1)代入,

累加得=ln n-ln 1=ln n,=2+ln n, ∴an=2n+nln n,故选C.

2.(2018广东一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,则a5= . 答案 14 解析 由题意得a5=S5-S4=×52+-×42+2=14.

3.(2018湖南、江西第二次联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且log3Sn+1=n+1,则数列{an}的通项公式为 . 答案 an=

解析 由log3(Sn+1)=n+1,得Sn+1=3n+1,

当n=1时,a1=S1=8;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2×3n, 所以数列{an}的通项公式为an=

4.(2018湖南衡阳一模)已知数列{an}前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn= . 答案 n·2n

解析 ∵Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得Sn-2Sn-1=2n,

等式两边同时除以2n有=1, 又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,

所以数列bn=可看作以1为首项,1为公差的等差数列,所以=n,所以Sn=n·2n.

5.(2018河南4月适应性考试)已知数列{an}的前n项和是Sn,且an+Sn=3n-1,则数列{an}的通项

公式an= . 答案 3-n-2

解析 由题得an+Sn=3n-1①,

an-1+Sn-1=3n-4②, 两式相减得an=an-1+, ∴an-3=(an-1-3),

∴{an-3}是一个等比数列,

所以an-3=(a1-3)

n-1

=(1-3)

n-1

,

∴an=3-故填3-

n-2

.

n-2

.

命题角度2等差数列基本量

的运算

高考真题体验·对方向

1.(2018全国Ⅰ·4)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 答案 B 解析 因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10. 2.(2017全国Ⅰ·4)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C 解析 设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4. 3.(2017全国Ⅲ·9)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 答案 A 解析 设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A. 4.(2016全国Ⅰ·3)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C 解析 (方法一)设等差数列{an}的公差为d,

则由题意得, 解得a1=-1,d=1,

故a100=a1+99d=-1+99=98.

(方法二)因为S9==27,a1+a9=2a5, 所以a5=3.

又因为a10=8,所以d==1. 故a100=a10+(100-10)×1=98. 5.(2017全国Ⅱ·15)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则= .

答案 解析 设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意可知解得 所以Sn=na1+d=. 所以=2.

所以=2

1-+

+…+

=2.

1.(2018重庆二诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=7,S3=12,则a10=( ) A.10 B.28 C.30 D.145 答案 B 解析 由题意,设等差数列的首项为a1,公差为d,则解得所以a10=a1+9d=1+9×3=28,故选B. 2.(2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若=2,则=( ) A.2 B. C.4 D. 答案 B 解析 设等差数列{an}的公差为d,=2,即a3+3d=2a3,则a3=3d,

,故选B.

3.(2018青海西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为( )

A.-n+(n∈N*,n≤5) B.n+(n∈N*,n≤5) C.n+(n∈N*,n≤5) D.-n+(n∈N*,n≤5) 答案 D 解析 依题意甲、乙、丙、丁、戊所分得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,

由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d, 所以a=-6d,

又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以a=1,

所以此等差数列首项为,公差为-,故通项公式为an=-n+(n∈N*,n≤5),故选D.

4.(2018河南六市一模)在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使Sn达到最大值的n是( ) A.21 B.20 C.19 D.18 答案 B 解析 因为a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,所以a3=35,a4=33,

从而d=-2,a1=39,Sn=39n+n(n-1)(-2)=-n2+40n, 所以当n=20时,Sn取最大值,故选B.

5.(2018河南六市一模)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 答案 B 解析 用a1,a2,…,a8表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数,

由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,

新题演练提能·刷高分

∴8a1+×17=996,解得a1=65. ∴a8=65+7×17=184.故选B.

6.(2018陕西西安八校第一次联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,则满足SnSn+1<0的正整数n的值为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 答案 C 解析 ∵S6>S7>S5,

∴6a1+d>7a1+d>5a1+d, ∴a7<0,a6+a7>0,

∴S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,

∴满足SnSn+1<0的正整数n的值为12,故选C. 7.(2018湖南长沙雅礼中学、河南实验中学联考)设等差数列{an}满足a2=7,a4=3,Sn是数列{an}的前n项和,则使得Sn>0的最大的自然数n是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 C 解析 解得

所以Sn=9n+×(-2)=-n2+10n,

所以-n2+10n>0,所以0

8.(2018北京顺义二模)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=-1,S10=35,则a20= . 答案 18 解析 ∵{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=-1,S10=35,

∴

∴d=1,∴a20=a1+(20-1)×1=18.

9.(2018东北三省三校二模)已知递增的等差数列{an}的前三项和为-6,前三项积为10,则前10项和S10= . 答案 85 解析 ∵a1+a2+a3=-6,a1a2a3=10,

∴a2=-2,a1+a3=-4,a1a3=-5. ∴a1=-5,a3=1,

∴公差为3,S10=10×(-5)+×10×9×3=85.

命题角度3等比数列基本量

的运算

高考真题体验·对方向

1.(2017全国Ⅱ·3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案 B 解析 设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381,可得x=3,故选B.

2.(2017全国Ⅲ·14)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= . 答案 -8

解析 设{an}的公比为q,则由题意,得解得故a4=a1q3=-8. 3.(2017江苏·9)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8= .

答案 32 解析 设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,即a4+a5+a6=14.① ∵S3=,∴a1+a2+a3=. 由①得(a1+a2+a3)q3=14, ∴q3==8,即q=2. ∴a1+2a1+4a1=,a1=, ∴a8=a1·q7=×27=32. 4.(2017北京·10)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则= . 答案 1 解析 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,

由题意知-1+3d=-q3=8, 即解得 故=1.

1.(2018广东珠海3月检测)Sn是正项等比数列{an}的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=( ) A.2 B.3 C.1 D.6 答案 A 解析 由题得

∴故选A.

2.(2018甘肃兰州第二次实战考试)等比数列{an}中各项均为正数,Sn是其前n项和,满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=( ) A.9 B.15 C.18 D.30 答案 D 解析 设等比数列{an}的公比为q(q>0).

∵2S3=8a1+3a2,

∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0. ∴2q2-q-6=0,∴q=2或q=-(舍去). ∵a4=16,

∴a1==2,∴S4==30.故选D.

3.(2018新疆乌鲁木齐二诊)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为( ) A.24里 B.48里 C.96里 D.192里 答案 C 解析 由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列,且前6项的和为378,求该数列的第2项.设首项为a1,则有=378,解得a1=192,则a2=192×=96(里).故选C.

4.(2018山东济南一模)已知正项等比数列{an}满足a3=1,a5与a4的等差中项为,则a1的值为( ) A.4 B.2 C. D. 答案 A 解析 设公比为q(q>0),∵a3=1,a5与a4的等差中项为,

∴

即a1的值为4,故选A.

5.(2018山西太原二模)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=( ) A.1 B.5 C. D.

新题演练提能·刷高分

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