复杂的和倍问题

小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？

【巩固】 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？

.

【巩固】 一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？

【巩固】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重

多少千克？

【例 1】 师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件

多少个？

【巩固】 实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人.问：实验小学男学生和女学生各有多少人？

【巩固】 两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少

40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？

【解析】 把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：

【巩固】 商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是

苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?

【例 2】 实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2

倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？

【巩固】 一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多

少岁？

【巩固】 果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？

【巩固】 某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有

7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？

【巩固】 光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

【巩固】 红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸

盒里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?

8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、【例 3】 有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．

38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有多少支？

六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上

6-1-5.和倍问题.题库 教师版page 1 of 11 的数是________．

【例 4】 甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如

果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有块巧克力．

【巩固】 甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3，丙

校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？

【巩固】 学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍.买来的乒乓球和羽毛球各

多少个？

【巩固】 某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖

的奖金是每个三等奖奖金的2倍．如果评出一、二、三等奖各2人，那么每个一等奖的奖金是308元．如果评出1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?

【例 5】 甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。已知甲校学生人数的2倍和乙校学生人数

减去3人与丙校学生人数加上4人都相等。问甲、乙、丙各校学生人数是多少？

【巩固】 有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，三位小朋

友各分得多少块糖?

【巩固】 实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88

人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?

【巩固】 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗．售货员将这

些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖．最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下170颗．请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？

【巩固】 四年级有甲、乙、丙、丁四个班．不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余

三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．问：这四个班共有多少人？

【例 6】 某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是—样的．开始时长蜡烛是短蜡烛长

度的2倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的3倍．短蜡烛燃烧掉的长度是5厘米．问原来两根蜡烛各有多长？

【解析】 我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的(因为两根蜡烛

燃烧的速度一样)．所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度?2倍原短蜡烛长度，差为1倍原短蜡烛长度；后长蜡烛长度?3倍后短蜡烛长度，差为2倍后短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度?2倍后短蜡烛长度，也就是说短蜡烛燃烧了1倍后短蜡烛长度，为5厘米，所以原短蜡烛长10厘米，原长蜡烛长20厘米．

【巩固】 某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛．这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持3小时，

另一支可以维持5小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的3倍．这次停电时间是多少小时？

6-1-5.和倍问题.题库 教师版page 2 of 11 【解析】 两支蜡烛长度相同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时，所以从两支蜡烛中取相同长

度的部分，可以燃烧的时间之比为3:5．现在可以维持5小时的那支蜡烛剩下的长度是另外一支的3倍，所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的3?5?3?5倍，由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间要长5?3?2小时．所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为2?(5?1)?0.5小时，这次停电的

时间为3?0.5?2.5小时．

【例 7】 某有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆

里的白子一样多，第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的

2，如果把三堆棋子集中到一起，5那么白子占全部棋子的几分之几？

【解析】 第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，那么我们不妨把第一堆里的黑子与第二堆里的白子调

换一下，那么第一堆全是白子，第二堆全是黑子，且每堆总数不变．因为第三堆里的黑子占到三

堆棋子里黑子总数的

2，我们不妨把第三堆里的黑棋子看作2份，那么剩下的3份都是第二堆的54． 9黑子，所以每堆都是3份，共有3?3?9棋子，白子共1?3?4份，白子占全部棋子的

【例 8】 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头．父子二人发现，如果爸

爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍．请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？

【详解】 由题意，如果爸爸多搬10块，冬冬少搬10块那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸爸少搬

10块，冬冬多搬10块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍．对于前一种情况，如果让爸爸再多搬100块，冬冬再多搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就是说如果爸爸多搬110块，冬冬多搬10块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5倍．由以上的关系可以列式求出爸爸原计划搬的块数为：

(110?10)?(5?2)?2?10?90（块），

冬冬原计划搬的块数为： (90?10)?5?10?30（块）．

【巩固】 某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为

室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?

【解析】 原来室外、室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动，这样室外活动人数比室内

人数多480?50?2?580(人)，这时室外活动人数正好是室内人数的5倍，580人相当于现在室内活动人数的5?1?4(倍)，这样可先求出现在室内活动人数为580?4?145，再求出室内、外人数之和：145?(5?1)?870人．

【例 9】 一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田汽车的3倍，

如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？

【解析】 假设福特汽车的数量是3份，丰田车的数量是1份，根据福特车销售量是丰田车的两倍知道，销

售完一份丰田车肯定要销售完2份福特车，也就是说当丰田车销售完的时候，福特车应该只剩下1份，所以我们知道1份数量是30，那么原来的丰田车和福特车就分别应有30辆和90辆。

【巩固】 大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2

级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？

6-1-5.和倍问题.题库 教师版page 3 of 11 【解析】 大头儿子踏过的台阶数是：300?2?150（级），小头爸爸踏过的台阶数是300?3?100（级），父

子俩每2?3?6（级）台阶要共同踏1级台阶，共重复踏了300?6?50（级），所以父子俩共踏了：150?100?50?200（级）．

【例 10】 果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2

倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

【解析】 下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树

少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。 梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵） 桃树的棵数：140×2＋12=292（棵） 苹果树的棵数： 140-20=120（棵）

答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。

【例 11】 甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各

是多少？

【解析】 我们把丙数看作一份，画出线段图如下：

假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7 凑成3份，则这时候三个数的总和为： 183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。 所以，一份数即丙数为：180÷6=30；

乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。

【巩固】 549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2

以后，则4个数相等.求4个数各是多少？

【解析】 上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数

除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其他各数。 丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61 甲数是：61×2-2=120 乙数是：61×2＋2=124 丁数是：61×4=244

验算：120+124＋61+244=549120＋2=122 124-2=12261×2＝122 244÷2＝122 答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.

【例 12】 大桶里有油60千克，小桶里有油30千克．将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大

桶是小桶的4倍．问两个桶各剩油多少千克？

【解析】 用下图表示它们的关系：

6-1-5.和倍问题.题库 教师版page 4 of 11

卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题．小桶所剩的油为１倍数，大桶剩油是小桶剩油的4倍，所以大桶剩油比小桶剩油多4?1?3（倍）．而大桶比小桶多的油总保持不变，是60?30?30（千克）．再利用差倍问题的公式就可解决．小桶剩下的油是：30?3?10（千克），大桶剩下的油是：10?4?40（千克）．

【巩固】 两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的3

倍，两筐苹果原来各有多少千克？

【解析】 用下图表示它们的关系：

设乙筐余下的千克数为1份，则甲筐余下的千克数为3份，甲、乙两筐余下的苹果相差3?1?2 （份）．原来甲、乙两筐苹果的千克数相同，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克，说明甲筐比乙筐少卖出19?7?12（千克），也就是乙筐余下的苹果比甲筐少12千克，所以甲、乙两筐余下的差是12千克，所对应的份数差是2，从而可以求出1份及两筐苹果原来的重量，甲、乙两筐余下

（3?1）?6（千克）的苹果数相差19?7?12（千克），乙筐余下苹果的数是12?，甲、乙两筐原来各有苹果的数量6?19?25（千克）．

【巩固】 甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米

的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

【解析】 甲、乙两水池共有水：2600＋1200=3800（立方米）

甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760（立方米） 甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米） 经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）。

【巩固】 甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油

是乙桶油的2倍？

【解析】 甲、乙两桶油总重量：470+190=660（千克）：

当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：660÷（2+1）=220（千克）： 由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。

【巩固】 有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3

倍，这两根绳子原来长多少米？

【解析】 用下图表示它们的关系：

6-1-5.和倍问题.题库 教师版page 5 of 11

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