高等数学--隐函数的求导法则

高等数学教案 第九章 多元函数微分法及其应用

第五节 隐函数的求导法则

一、一个方程的情形

隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数，F(x0,y0)?0，Fy(x0,y0)?0，则方程F(x,y)?0在点x0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y?f(x)， 它满足条件y0?f(x0)，并有

Fdy??x．?dxFy 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将y?f(x)代入

F(x,y)?0，得恒等式

F(x,f(x))?0，

等式两边对x求导得

?F?Fdy??0， ?x?ydx由于Fy?0 于是得

Fdy??x． dxFy2） 若F(x,y)的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:

FxFxdyd2y?? ?(?)?(?)?dx2?xFy?yFydx

??FxxFy?FyxFxFy2?FxyFy?FyyFxFy2(?Fx) Fy??FxxFy2?2FxyFxFy?FyyFx2F3y．

例1 验证方程siny?ex?xy?1?0在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个

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第五节 隐函数的求导公式 湖北汽车工业学院理学部·胡政发

dyd2y单值可导的隐函数y?f(x)，并求． ,2dxx?0dxx?0解 设F(x,y)?siny?ex?xy?1， 则 1） Fx?ex?y，Fy?cosy?x连续； 2） F(0,0)?0； 3） Fy(0,0)?1?0．

因此由定理1可知，方程siny?ex?xy?1?0在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数y?f(x)．

Fxdyex?y ????1， ??dxx?0cosy?xx?0,y?0Fyx?0

d2ydex?y ??( )dx2x?0dxcosy?xx?0,y?0,y???1 (ex?y?)(cosy?x)?(ex?y)(?siny?y??1)??(cosy?x)2x?0y?0y???1??3．

隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程F(x,y)?0可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程F(x,y,z)?0可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)?0，Fz(x0,y0,z0)?0，则方程F(x,y,z)?0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z?f(x,y)， 它满足条件z0?f(x0,y0)，并有

FyFx?z?z??，??．??xFz?yFz 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将z?f(x,y)代入

F(x,y,z)?0， 得F(x,y,f(x,y))?0，

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高等数学教案 第九章 多元函数微分法及其应用

将上式两端分别对x和y求导，得

?zFx?Fz??z?0， Fy?Fz??0．?

?y?x因为Fz连续且Fz(x0,y0,z0)?0，于是得

FyFx?z?z??， ??． ?xFz?yFz?2z 例2 设x?y?z?4z?0，求2．

?x222 解 设F(x,y,z)?x2?y2?z2?4z，则Fx?2x，Fz?2z?4，

F?z2x??x???xF2z?4z2x?， 2?z

?z?2?x(2?x)?x?zx(2?x)?x()22?x?2?z?(2?x)?x． 2(2?z)(?2z2)?(z23)二、方程组的情形

在一定条件下， 由方程组

?F(x,y,u,v)?0 ??G(x,y,u,v)?0可以确定一对二元函数

?u?u(x,y)， ?v?v(x,y)?例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以确定两个二元函数u?v?x． 事实上， x2?y2y，

x2?y2yxxxu?yv?0 ?v?u?yu?x?u?1?u?22，

yyx?yyv?x?22?2x2． yx?yx?y 下面讨论如何由组求u，v的导数．

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第五节 隐函数的求导公式 湖北汽车工业学院理学部·胡政发

隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)，G(x,y,u,v)点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(x0,y0,u0,v0)?0，G(x0,y0,u0,v0)?0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列式）

?F?(F,G)?uJ???G?(u,v)?u?F?v ?G?v在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零，则方程组F(x,y,u,v)?0，G(x,y,u,v)?0，在点

P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数

?u?u(x,y)， ??v?v(x,y)． 它们满足条件u0?u(x0,y0)，v0?v(x0,y0)，且有

FxGx?u1?(F,G) ????Fu?xJ?(x,v)GuFyGy?u1?(F,G)????Fu?yJ?(y,v)GuFvGv?v1?(F,G)，????Fv?xJ?(u,x)GvFvGvFuGuFuGuFuFxGx， FvGvFyGyFvGvGu?v1?(F,G)??，??FvFu?yJ?(u,y)GvGu．

说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数?u，?v由方程组

?x?x?u?v?F?F?F?0,uv??x?x?x ??u?v?G?G?Gv?0xu??x?x?确定；偏导数?u，?v由方程组

?y?y?F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y ??u?v?Gy?Gu?Gv?0.?y?y?确定．

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高等数学教案 第九章 多元函数微分法及其应用

例3 设xu?yv?0，yu?xv?1，求

?u?v?v?u，，和． ?x?x?y?y?u?v和的方程组 ?x?x 解 两个方程两边分别对x求偏导，得关于

?u?v?u?x?y?0，???x?x ??u?v?y?v?x?0．??x?x?当x2?y2?0时，解之得

?vyu?xv?uxu?yv，． ???2?xx2?y2?xx?y2?u?v和的方程组 ?y?y 两个方程两边分别对y求偏导，得关于

?v??ux?v?y?0，??y?y? ??u?v?u?y?x?0．??y?y?当x2?y2?0时，解之得

?uxv?yu?vxu?yv，． ?2???yx2?y2?yx?y2另解 将两个方程的两边微分得

?udx?xdu?vdy?ydv?0，?xdu?ydv?vdy?udx，即? ?udy?ydu?vdx?xdv?0，ydu?xdv??udy?vdx．??解之得

du??xu?yvxv?yuyu?xvxu?yvdx?dydv?dx?dy． ，22222222x?yx?yx?yx?y于是

?vyu?xv?uxu?yv?uxv?yu?vxu?yv?，，，． ??2????xx2?y2?yx2?y2?xx?y2?yx2?y2 例? 设函数x?x(u,v),y?y(u,v)在点(u,v)的某一领域内连续且有连续偏导数，又

?(x,y)?0． ?(u,v) 1） 证明方程组

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第五节 隐函数的求导公式 湖北汽车工业学院理学部·胡政发

?x?x(u,v) ??y?y(u,v)在点(x,y,u,v)(的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数

u?u(x,y),v?v(x,y)．

2）求反函数u?u(x,y),v?v(x,y)对x,y的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式

??F(x,y,u,?v)?xx(u,?v，)?G(x,y,u,?v)?yy(u,?v，) 0则按假设 J??(F,G)?(u,v)??(x,y?(u,v?))0，

由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．

2）将方程组所确定的反函数u?u(x,y),v?v(x,y)代入原方程组，即得??x?x[u(x,y),v(x,y)]，?y?y[u(x,y),v(x,y)]. 将上述恒等式两边分别对x求偏导数，得

???1??x??u??u?x?v?x??v??x， ??0??y??ux??y?v??v??u??x.由于J?0，故可解得

?u?x?1?y?v1?yJ?v， ?x??J?u． 同理，可得

?u1?x?y??J?v， ?v?y?1?xJ?u． 6

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