北师大 结构化学课后习题答案

北师大 结构化学 课后习题 第一章 量子理论基础

习题答案

1 什么是物质波和它的统计解释？

参考答案:

象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，?22????代表粒子的几率密度，在时刻t，空间q点附近体积元d?内粒

子的几率应为?d?；在整个空间找到一个粒子的几率应为 有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？ 参考答案

合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。由于波函数???d??1。表示波函数具

22代表概率密度的物理意义，

所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要dinger方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是符合Schr?

因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分?*?d?必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？ 参考答案

在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。某一物理量Q的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q1状态，部分地处于Q2态，……。各种态都有自己的权重（即成份）。这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。但量子力学可以计算出测量的平均值。

1

?

4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案

根源就在于微观粒子的波粒二象性。

5 铝的逸出功是4.2eV，用2000?的光照射时，问（a）产生的光电子动能是多少？(b)与其

相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？ 参考答案

(a)根据爱因斯坦光电方程h??12m?2?W，又??c?，得光电子动能：

T?12m?2?h?c?W? ?6.626?10?34?9.939?10?193?108??4.2?1.6?10?19 ?102000?10?6.72?10?19?3.219?10?19J(b)由德布罗依关系式，相应的物质波波长为

h???Ph2mT?6.626?10?342?9.1?10?31?3.219?10?196.626?10?34?7.546?10?25?8.781?10?10m

(c) 由不确定关系式?x??Px?h，若位置不确定量?x??，则动量不确定量

6.626?10?34?25?1?Px??P??7.546?10Kg?m?s ?10?8.781?10h

6 波函数e-x(0≤x≤?)是否是合格波函数,它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。 参考答案

没有归一化，归一化因子为2

7 一个量子数为n，宽度为l的一维势箱中的粒子,①在0~1/4 的 l 区域内的几率是多少？

②n取何值时几率最大？③当n→∞时，这个几率的极限是多少？ 参考答案

（1）wn??l240?dx?11n? ?sin42n?2 2

n?3?4k(k?1,2,3...时),（2） n?11

sin??1,wmax??246? （3）w?1 42?22?sinx?2sinx是不是一维势箱中粒子的可能状态？如果llll8 函数?(x)?3是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？ 参考答案

根据态叠加原理，?(x)是一维势箱中粒子一个可能状态。能量无确定值。 平均值为

25h2

104ml29 在这些算符

符？ 参考答案

?，

错误！未定义书签。, exp, 错误！未定义书签。中，那些是线性算

错误！未定义书签。和 错误！未定义书签。是线性算符.

10 下列函数, 那些是错误！未定义书签。的本征函数? 并求出相应的本征值。 (a) eimx (b) sinx (c) x2+y2 (d) (a-x)e-x 参考答案

(a) 和 (b) 是错误！未定义书签。的本征函数，其相应的本征值分别为-m2和-1。

??ddx,X??X, 求D?X??X?D?。 11 有算符D 参考答案

根据算符之积的定义

?X??X?D?)f(x)?D?[X?f(x)]?X?[D?f(x)](D?ddx[Xf(x)]?X[ddrf(x)] ?X[ddrf(x)]?f(x)?X[ddxf(x)]

?f(x)?X??X?D??1?D

北师大 结构化学 课后习题 第二章 原子的结构与性质

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1. 简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围？

解：原子轨道有主量子数n，角量子数l，磁量子数m与自旋量子数s，对类氢原子（单电子原子）来说，原子轨道能级只与主量子数n相关En??ZR。 对多电子原子，能级除

2n2了与n相关，还要考虑电子间相互作用。角量子数l决定轨道角动量大小，磁量子数m表示角动量在磁场方向（z方向）分量的大小，自旋量子数s则表示轨道自旋角动量大小。 n取值为1、2、3……；l＝0、1、2、……、n－1；m＝0、±1、±2、……±l；s取值只有?1。 22. 在直角坐标系下，Li2+ 的Schr?dinger 方程为________________ 。

解：由于Li2+属于单电子原子，在采取“B-O” 近似假定后，体系的动能只包括电子的动

Ze23e2h22????能，则体系的动能算符：T??2?；体系的势能算符：V??

4??r4??r8?m00?h23e2?2故Li 的Schr?dinger 方程为：??????ψ?Eψ

8?m4?εr0??2+

222式中：?2??????r = ( x2+ y2+ z2)1/2

?x2?y2?z2，

??c1?210?c2?211?c3?31?1，其中 ?,?210,?211和?31?13. 对氢原子，

一化的。那么波函数所描述状态的（1）能量平均值为多少？（2）角动量出现在 概率是多少？，角动量 z 分量的平均值为多少？

都是归

2h2?的

解： 由波函数??c1?210?c2?211?c3?31?1得：n1=2, l1=1,m1=0; n2=2, l2=1,m2=1; n3=3, l3=1,m3=-1;

z2（1）由于?,?210,?211和?31?1都是归一化的，且单电子原子E??13.62(eV)

n故

E??ci2iEi222?c1E1?c2E2?c3E3111?2??2??2??c1??13.6?2eV??c2??13.6?2eV??c3??13.6?2eV?223??????

13.6213.922??c1?c2eV?c3eV 4 9

?? (2) 由于|M|?l(l?1)?, l1=1，l2=1，l3=1，又?,?210,?211和?31?1都是归一化的，

4

故

M??ci2i222Mi?c1M1?c2M2?c3M32?c1l1?l1?1?2?c1hhh22?c2l2?l2?1??c3l3?l3?1?2?2?2?hhh221?1?1??c21?1?1??c31?1?1?2?2?2??2h222c1?c2?c32???h, m1=0,m2=1,m3=-1; 又?,?210,?211和?31?1都是归一化的， 2?222?c2?c3?1 则角动量为2h2?出现的概率为：c1 (3) 由于MZ?m?故

Mz?2?c1m1?ci2iMzihhh22?c2m2?c3m32?2?2?h22222h?c1?0?c2?1?c3???1??c2?c32?2?????4. 已知类氢离子 He+的某一状态波函数为：

14?2??12?2??a?0????32?2r?-2r2a0 ??2???ea0?? （1）此状态的能量为多少？

（2）此状态的角动量的平方值为多少？ （3）此状态角动量在 z 方向的分量为多少？ （4）此状态的 n， l， m 值分别为多少？ （5）此状态角度分布的节面数为多少？

1解：由He的波函数??1/24?2??+

?2???a???0?32?2r?-2r2a0??，可以得到：Z=2，则n=2, l=0, 2?e??a0??m=0

z2(1) He为类氢离子，E??13.62(eV)，则

n+

z222E??13.62(eV)??13.6?2(eV)??13.6eV

n2 (2) 由l=0，M2?l(l?1)?2,得M2?l(l?1)?2?0(0?1)?2?0

(3) 由|m|=0，MZ?m?，得MZ?m??0??0

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