2018年5月浙江省宁波市高考模拟考试题数学试卷及参考解析

宁波市2018年高考模拟考试数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1．已知集合A??x0?x?5?，B??xx2?2x?8?0?，则AB?

A．??2,4? B．?4,5? C．??2,5? D．?0,4? 2．已知复数z满足z(1?i)?2?i（i为虚数单位），则z的虚部为

3333A．?i B．i C．? D．

222 23．已知直线l、m与平面?、?，l??，m??，则下列命题中正确的是

A．若l//m，则必有?//? B．若l?m，则必有??? C．若l??，则必有??? D．若???，则必有m?? 1?（n?N?）的展开式中含有常数项的最小的为 4．使得?n3x???xx??nA．4 B．5 C．6 D．7

5．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an?0”是“{Sn}为递增数列”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

?x?2y?4?06．已知实数x，y满足不等式组??3x?4y?8?0，则

?2x?y?8?0?x?y的最大值为

A. 0 B. 2 C. 4 D. 8

7．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格 子颜色不同，则不同的涂色方案数有 A．48种 B．72种 C．96种 D．216种

8．设抛物线y2?4x的焦点为F，过点P(5,0)的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于C，若BF?5，则?BCF与?ACF的面积之比S?BCF?

S?ACFA． 5 B． 20 C． 15 D． 20

6333129

?x2?ax?1,x?a??9．已知a为正常数，f(x)??,若存在??(,)，满足f(sin?)?f(cos?)，2242?x?3ax?2a?1,x?a则实数a的取值范围是

1212A. (,1) B. (,1) C. (1,2) D. (,)

222210．已知x,y均为非负实数，且x?y?1，则4x2?4y2?(1?x?y)2的取值范围为

2A. [,4] B．[1,4] C．[2,4] D．[2,9]

3二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．

y211．双曲线x??1的离心率是 ▲ ，渐近线方程为 ▲ ．

312．已知直线l:mx?y?1．若直线l与直线x?my?1?0平行，则m的值为 ▲ ；动直

2线l被圆x2?2x?y2?24?0截得弦长的最小值为 ▲ ． 13．已知随机变量X的分布列如下表： X a 2 3 4 P 1 3b 1 61 4若EX?2，则a? ▲ ；DX? ▲ ．

14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，侧视图

为直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ▲ ，该三棱锥的外接球体积为 ▲ ．

2an15．已知数列{an}与{}均为等差数列（n?N?），且a1?2，则

naaaa1?(2)2?（3)3??（n)n? ▲ ．

23n223116．已知实数a,b,c满足：a?b?c??2， abc??4.则a?b?c的最小 值为 ▲ ．

D1C1B1E17．已知棱长为1的正方体ABCD?A中， E为侧面BB1C1C中 1B1C1D1

A1FADBC

心，F在棱AD上运动，正方体表面上有一点P满足D1P?xD1F?yD1E

(x?0,y?0)，则所有满足条件的P点构成图形的面积为 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

??18．（本题满分14分）已知函数f(x)?4cosx?sin??x???1. 6??（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足f(B)?0，a?2，

且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求CP?PD的最小值．

19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD,?C?60?，点E在线段CD1上，满足BE?CD,且CE?AB?CD?2，现将?ADE沿AE翻折到AME位置，使

4得MC?210． （Ⅰ）证明：AE?MB;

（Ⅱ）求直线CM与面AME所成角的正弦值．

CEDCEBABAM（第19题图）

20．（本题满分15分）已知函数f(x)?alnx?x?（Ｉ）若x?1，其中a为实常数． x1是f(x)的极大值点，求f(x）的极小值； 2511（Ⅱ）若不等式alnx??b?x对任意??a?0，?x?2 恒成立，求b的最小值．

x22

x2y2321．（本题满分15分）如图，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，点M(?2,1)是

ab2椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2，设l1与椭圆C相交于点A,B，l2与椭圆C相交于点D,E．当M恰好为线段AB的中点时，AB?10． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求AD?EB的最小值．

EDAMOxyB

22. （本题满分15分）三个数列

2|an?1|?an?2an?5，bn?1an?1?2（第21题图）

{an}，{bn},c{}满足n，

a1??11，10b1?1，

?2bn?1，cn?abn,n?N*．

（Ⅰ）证明：当n?2时，an?1；

（Ⅱ）是否存在集合[a,b]，使得cn?[a,b]对任意n?N*成立，若存在，求出b?a的

最小值；若不存在，请说明理由；

2322（Ⅲ）求证：??c2c32n??2n?1?cn?1?6(n?N*,n?2)． cn

宁波数学参考答案

18. 解答：（Ⅰ）f(x)?4cosx(31?由于 sinx?cosx)?1?3sin2x?cos2x?2?2sin(2x?)?2622

??????19. ??2k??2x???2k?,k?Z，所以f(x)增区间为?k??,k???,k?Z．……… 6分 ?26263??（Ⅱ）由f(B)?2sin(2B??6)?2?0得2B??6??，所以?B?23

…8分

作C关于AB的对称点C', 连C'D,C'P,C'B，(C'D)2?BD2?(BC')2?BD?BC'?7…12分

CP?PD?C?P?PD?C?D?7，当C?,P,D共线时，取最小值7. ………14分

19．解答：（Ⅰ）方法一：连BD交AE于N，由条件易算BD?43∴BC?BD 又

BC//AE ∴

AE?BD 从而AE?BN,AE?MN 所以AE?平面MNB ∴

AE?MB

方法二：由ME?DE?6,CE?2,MC?210，得

MME2?CE2?MC2 , 故CE?ME， 又CE?BE ，

所以CEBABA?平面BEM ，所以CE?BM， 可得

CEDCE

AB?BM，计算得AD?AM?27,MB?26,

222从而ME?MB?BE,BE?BM MB?平面ABE，所以AE?MB.

（Ⅱ）方法一：设直线CM与面AME所成角为?， 则sin??h，其中h为C到面AME的距离. MC∵AE∥BC ∴C到面AME的距离即B到面AME的距离.由

11SBM26 VM?ABE?S?ABEBM?VB?AME?S?AEMh所以h??ABE?S?AEM333

∴sin??h15 . ?MC15zM

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